примеры с решениями
Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения: Continue reading
Дифференциальное уравнение 1-го порядка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется однородным, если P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции одинакового измерения, то есть
![\[P({\lambda ^n}x;{\lambda ^n}y) = {\lambda ^n}P(x;y),Q({\lambda ^n}x;{\lambda ^n}y) = {\lambda ^n}Q(x;y).\]](http://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3a1c547e535f4f073c033123858a03e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Рассмотрим два следствия из 2-го замечательного предела, с помощью которых можно найти предел показательной функции, в том числе, предел экспоненты.
![\[I.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\]](http://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09f3d89e360b97e60c7399049575cc38_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[II.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x} = \ln a.\]](http://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12a91a8d834de31a3bb496a80865bc6a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Рассмотрим примеры решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Continue reading
Дифференциальные уравнения 1го порядка с разделяющимися переменными имеют вид y’=f(x)g(y). Так как
![\[y' = \frac{{dy}}{{dx}}, \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = f(x)g(y).\]](http://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a864a1d63d3cace66b1ff10f64d0a38_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными имеют вид f(y)dy=g(x)dx. К ним сводятся многие дифференциальные уравнения первого порядка. В общем случае решение такого уравнения — это интегрирование обеих частей: Continue reading
Рассмотрим пределы логарифмов, которые можно найти с помощью следствия из 2-го замечательного предела. Continue reading
Рассмотрим, как раскрывается неопределенность один в степени бесконечность в другой форме записи 2 замечательного предела. В этом случае фактически имеем неопределенность один в степени один на ноль. Continue reading