Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел определяется как число, обратное умножению.

Определение

Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z , при умножении которого на z2 получается z1:

z=z1/z2, если z∙z2=z1 (z2≠0).

Для комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:

    \[{z_1} = a + bi\]

и

    \[{z_2} = c + di\]

    \[z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}}i\]

На практике частное комплексных чисел находят умножением делимого и делителя на число, комплексно-сопряженное делителю.

С помощью формулы правило деления комплексных  можно записать так:

    \[\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{(a + bi) \cdot (c - di)}}{{(c + di) \cdot (c - di)}} = \frac{{ac - adi + bci - bd{i^2}}}{{{c^2} + {d^2}}} = \]

    \[ = \frac{{(ac + bd) + (bc - ad)i}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}}i\]

Примеры.

Найти частное комплексных чисел:

    \[1){z_1} = 2 + 5i;{z_2} = 3 - 2i;\]

    \[2){z_1} = 23 + i;{z_2} = 2 + i;\]

    \[3){z_1} = 8i;{z_2} = 5i;\]

    \[4){z_1} = 2 + 7i;{z_2} = 10.\]

Решение:

1) Чтобы выполнить деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, и делимое, и делитель умножаем на число, комплексно-сопряженное делителю (вариант: и числитель, и знаменатель умножаем на число, сопряженное знаменателю):

    \[\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{2 + 5i}}{{3 - 2i}} = \frac{{(2 + 5i)(3 + 2i)}}{{(3 - 2i)(3 + 2i)}} = \frac{{2 \cdot 3 + 2 \cdot 2i + 5i \cdot 3 + 5i \cdot 2i}}{{{3^2} + {2^2}}} = \]

Умножение комплексных чисел выполняем как умножение многочленов.

i² заменяем на -1.

    \[ = \frac{{6 + 4i + 15i + 10{i^2}}}{{13}} = \frac{{6 + 19i - 10}}{{13}} = \frac{{ - 4 + 19i}}{{13}} =  - \frac{4}{{13}} + \frac{{19}}{{13}}i;\]

 

    \[2)\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{23 + i}}{{2 + i}} = \frac{{(23 + i)(2 - i)}}{{(2 + i)(2 - i)}} = \frac{{46 - 23i + 2i - {i^2}}}{{{2^2} + {1^2}}} = \]

    \[ = \frac{{46 - 21i + 1}}{5} = \frac{{47 - 21i}}{5} = \frac{{47}}{5} - \frac{{21}}{5}i;\]

 

    \[3)\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{8i}}{{5i}} = \frac{{8i \cdot ( - 5i)}}{{5i \cdot ( - 5i)}} = \frac{{ - 40{i^2}}}{{25}} = \frac{{40}}{{25}} = \frac{8}{5};\]

 

    \[4)\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{2 + 7i}}{{10}} = \frac{{(2 + 7i) \cdot 10}}{{10 \cdot 10}} = \frac{{20 + 70i}}{{100}} = \]

    \[ = \frac{{20}}{{100}} + \frac{{70}}{{100}}i = \frac{1}{5} + \frac{7}{{10}}i.\]

 

Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, будет рассмотрено позже.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *