Умножение комплексных чисел

Как умножить комплексные числа?

Рассмотрим, как следует выполнять умножение комплексных чисел, в теории и на конкретных примерах.

Произведением комплексных чисел

    \[{z_1} = a + bi\]

и

    \[{z_2} = c + di,\]

записанными а алгебраической форме, называется комплексное число

    \[{z_1} \cdot {z_2} = (ac - bd) + (ad - bc)i.\]

На практике умножение комплексных чисел выполняют по правилу умножения двучленов, с последующей заменой i² на -1.

Примеры.

Найти произведение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:

    \[1){z_1} = 7 + 3i;{z_2} = 5 - 8i;\]

    \[2){z_1} =  - 10 - 4i;{z_2} = 8 + i;\]

    \[3){z_1} = 12;{z_2} = 6 + 2i;\]

    \[4){z_1} = 9i;{z_2} =  - 10i;\]

Решение:

Перемножаем комплексные числа, как обыкновенные многочлены:

    \[1)(7 + 3i) \cdot (5 - 8i) = 7 \cdot 5 + 7 \cdot ( - 8i) + 3i \cdot 5 + 3i \cdot ( - 8i) = \]

приводим подобные слагаемые и заменяем i² на -1:

    \[ = 35 - 56i + 15i - 24{i^2} = 35 - 41i - 24 \cdot ( - 1) = \]

    \[ = 35 - 41i + 24 = 59 - 41i;\]

    \[2)( - 10 - 4i) \cdot (8 + i) =  - 80 - 10i - 32i - 4{i^2} = \]

    \[ =  - 80 - 42i + 4 =  - 76 - 42i;\]

    \[3)12 \cdot (6 + 2i) = 72 + 24i;\]

    \[4)9i \cdot ( - 10i) =  - 90{i^2} = 90.\]

Утверждение.

Произведение комплексно-сопряженных чисел равно квадрату модуля одного из них.

Доказательство:

    \[{z_1} = a + bi;{z_2} = a - bi\]

    \[{z_1} \cdot {z_2} = (a + bi) \cdot (a - bi) = \]

    \[ = {a^2} - abi + abi - b{i^2} = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}.\]

Что и требовалось доказать.

Соответственно, чтобы умножить комплексно-сопряженные числа, пользуются правилом:

    \[(a + bi) \cdot (a - bi) = {a^2} + {b^2}\]

Например,

    \[1)(5 + 8i) \cdot (5 - 8i) = {5^2} + {8^2} = 25 + 64 = 89;\]

    \[2)(9 - i) \cdot (9 + i) = {9^2} + {1^2} = 81 + 1 = 82.\]

Умножение комплексных чисел подчиняется коммутативному (переместительному):

    \[{z_1} \cdot {z_2} = {z_2} \cdot {z_1};\]

ассоциативному (сочетательному):

    \[{z_1} \cdot ({z_2} \cdot {z_3}) = ({z_1} \cdot {z_2}) \cdot {z_3};\]

и дистрибутивному (распределительному относительно сложения)

    \[({z_1} + {z_2}) \cdot {z_3} = {z_1} \cdot {z_3} + {z_2} \cdot {z_3}\]

законам умножения.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *