Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными имеют вид f(y)dy=g(x)dx. К ним сводятся многие дифференциальные уравнения первого порядка. В общем случае решение такого уравнения — это  интегрирование  обеих частей:

    \[\int {f(y)dy = \int {g(x)dx.} } \]

Однако оставлять ответ в таком виде не принято. Нужно взять интегралы от обеих функций, если это возможно.

Замечание

Другая форма записи дифференциального уравнения с разделенными переменными:f(y)dy+g(x)dx=0. Его общее решение, заданное в неявном виде, выглядит так:

    \[\int {f(y)dy + \int {g(x)dx} }  = C\]

и называется общим интегралом уравнения.

Проиллюстрируем решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными конкретными примерами.

    \[1)\cos ydy + 2xdx = 0\]

Переносим слагаемое с x в левую часть и интегрируем:

    \[\cos ydy =  - 2xdx\]

    \[\int {\cos ydy =  - 2\int {xdx} } \]

Получаем 

    \[\sin y =  - 2 \cdot \frac{{{x^2}}}{2} + C, \Rightarrow \sin y + {x^2} = C.\]

    \[2){e^{5y}}dy + \frac{{2x - 5}}{{{x^2} - 5x + 12}}dx = 0.\]

Переносим слагаемое с иксом в левую часть и интегрируем:

    \[\int {{e^{5y}}dy =  - \int {\frac{{2x - 5}}{{{x^2} - 5x + 12}}dx} } \]

Замечаем, что (x²-5x+12)’=2x-5. Значит, выражение x²-5x+12 можно подвести под знак дифференциала: d(x²-5x+12)=(2x-5)dx, 

    \[\int {{e^{5y}}dy =  - \int {\frac{{d({x^2} - 5x + 12)}}{{{x^2} - 5x + 12}}} } \]

    \[\frac{1}{5}{e^{5y}} =  - \ln ({x^2} - 5x + 12) + C, \Rightarrow \frac{1}{5}{e^{5y}} + \ln ({x^2} - 5x + 12) = C.\]

    \[3)\frac{1}{{\sqrt y }}dy + \sin x{\cos ^4}xdx = 0.\]

    \[\frac{1}{{\sqrt y }}dy =  - \sin x{\cos ^4}xdx\]

    \[\int {\frac{1}{{\sqrt y }}dy =  - \int {\sin x{{\cos }^4}xdx} } \]

В правой части — табличный интеграл. В левой — можно подвести косинус под знак интеграла. Но ради разнообразия сделаем замену:

cos x=t, отсюда dt = (cos x)’dx=-sinxdx. Отсюда

    \[2\sqrt y  = \int {{t^4}} dt, \Rightarrow 2\sqrt y  = \frac{{{t^5}}}{5} + C, \Rightarrow 2\sqrt y  = \frac{{{{\cos }^5}x}}{5} + C,\]

и можно записать решение в виде общего интеграла

    \[2\sqrt y  - \frac{{{{\cos }^5}x}}{5} = C,\]

либо выразить y через x:

    \[2\sqrt y  = \frac{{{{\cos }^5}x}}{5} + {C_1}\]

Разделим обе части равенства на 2, затем возведём в квадрат:

    \[\sqrt y = \frac{{{{\cos }^5}x}}{{10}} + \frac{{{C_1}}}{2}, \Rightarrow y = {(\frac{{{{\cos }^5}x}}{{10}} + \frac{{{C_1}}}{2})^2}.\]

 Обозначим

    \[\frac{{{C_1}}}{2} = C,\]

    \[y = {(\frac{{{{\cos }^5}x}}{{10}} + C)^2}.\]

Здесь удалось выразить ответ в виде функции в явном виде: y=f(x).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>