Дифференциальные уравнения с разделенными переменными имеют вид f(y)dy=g(x)dx. К ним сводятся многие дифференциальные уравнения первого порядка. В общем случае решение такого уравнения — это интегрирование обеих частей:
Однако оставлять ответ в таком виде не принято. Нужно взять интегралы от обеих функций, если это возможно.
Замечание
Другая форма записи дифференциального уравнения с разделенными переменными:f(y)dy+g(x)dx=0. Его общее решение, заданное в неявном виде, выглядит так:
и называется общим интегралом уравнения.
Проиллюстрируем решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными конкретными примерами.
Переносим слагаемое с x в левую часть и интегрируем:
Получаем
Переносим слагаемое с иксом в левую часть и интегрируем:
Замечаем, что (x²-5x+12)’=2x-5. Значит, выражение x²-5x+12 можно подвести под знак дифференциала: d(x²-5x+12)=(2x-5)dx,
В правой части — табличный интеграл. В левой — можно подвести косинус под знак интеграла. Но ради разнообразия сделаем замену:
cos x=t, отсюда dt = (cos x)’dx=-sinxdx. Отсюда
и можно записать решение в виде общего интеграла
либо выразить y через x:
Разделим обе части равенства на 2, затем возведём в квадрат:
Обозначим
Здесь удалось выразить ответ в виде функции в явном виде: y=f(x).
спасиобчки! ничо не поняла, но для презентации взяла.