Пределы логарифмов

Рассмотрим пределы логарифмов, которые можно найти с помощью следствия из 2-го замечательного предела.

Следствие 2-го замечательного предела:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1.\]

Это следствие распространяется и на пределы логарифмов, в которых на месте x стоит некоторая функция f(x), если f(x)→0 при x→0, то есть

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + f(x))}}{{f(x)}} = 1.( * )\]

Рассмотрим, как находят пределы на логарифмы на примерах.

Найти предел функции:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 5x)}}{{2x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = ?\]

Приводим выражени под знаком предела к такому виду, чтобы можно было применить нашу формулу (*):

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 5x)}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\ln (1 + 5x)}}{{5x}} \cdot 5x}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\ln (1 + 5x)}}{{5x}} \cdot 5}}{2} = \frac{{1 \cdot 5}}{2} = \frac{5}{2},\]

так как по следствию из 2-го замечательного предела

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 5x)}}{{5x}} = 1.\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + ( - 1 + \cos x))}}{{{x^2}}} = \]

Преобразуем выражение -1+cos x:

    \[ - 1 + \cos x =  - (1 - \cos x) =  - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}\]

Продолжим

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}))}}{{{x^2}}} = \]

Теперь приведем предел с логарифмом к виду (*)

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\ln (1 + ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}))}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} \cdot ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2})}}{{{x^2}}} = \]

С пределом логарифма разобрались:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}))}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} = 1,\]

осталось убрать неопределенность 0 на 0, возникшую с появлением синуса. По 1-му замечательному пределу

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\]

Преобразовываем выражение так, чтобы применить этот замечательный предел:

    \[ =  - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\ln (1 + ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}))}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} \cdot {{\left[ {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}} \right]}^2} \cdot \frac{{{x^2}}}{4}}}{{{x^2}}} = \]

Сокращаем дробь на x², имеем:

    \[ =  - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}))}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} \cdot {\left[ {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}} \right]^2} \cdot \frac{1}{4} = \]

    \[ =  - 2 \cdot 1 \cdot {1^2} \cdot \frac{1}{4} =  - \frac{1}{2}.\]

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\ln ({x^2} - 7x + 11)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\ln (1 + ({x^2} - 7x + 10))}}{{x - 2}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{{\ln (1 + ({x^2} - 7x + 10))}}{{{x^2} - 7x + 10}} \cdot ({x^2} - 7x + 10)}}{{x - 2}} = \]

По теореме о разложении квадратного трехчлена на множители: x²-7x+10=(x-2)(x-5).

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{{\ln (1 + ({x^2} - 7x + 10))}}{{{x^2} - 7x + 10}} \cdot (x - 2)(x - 5)}}{{x - 2}} = \]

Сокращаем дробь на (x-2):

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\ln (1 + ({x^2} - 7x + 10))}}{{{x^2} - 7x + 10}} \cdot (x - 5) = \]

Так как при x→2  x²-7x+10→0, то

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\ln (1 + ({x^2} - 7x + 10))}}{{{x^2} - 7x + 10}} \to 1\]

Значит, окончательный ответ

    \[ = 1 \cdot (2 - 5) =  - 3.\]

Дальше мы увидим, что пределы на логарифмы удобно находить, используя эквивалентность бесконечно малых величин.

6 Comments

  1. efewf:

    Спасибо большое

    1. admin:

      Я рада, что материал Вам пригодился!

  2. Юрий:

    Спасибо большое, очень помогло!
    Возник такой вопрос: вы в одном месте вынесли умножение на -2 за предел. Такую операцию возможно проводить только с числами, или с переменными тоже? Скажем, lim x*f(x) можно преобразовать в x*lim f(x)?

  3. Юрий:

    И не до конца понятно решение третьего предела, предпоследний пункт. Почему предел — единица? При x->2 выражение в знаменателе действительно принимает значение 0, соответственно и в числителе (ln1=0), и мы получаем неопределённость 0/0.

    1. admin:

      Юрий, здесь как раз применили следствие из 2-го замечательного предела.[mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{ln (1 + f(x))}}{{f(x)}} = 1.]здесь[f(x) = {x^2} — 7x + 10]и f(x) стремится к нулю при x, стремящемся к 2.
      За знак предела можно выносить только числа, переменные — нет.

      1. Юрий:

        Всё ясно, спасибо!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *