Дифференциальные уравнения 1го порядка с разделяющимися переменными имеют вид y’=f(x)g(y). Так как
Чтобы разделить переменные в уравнении с разделяющимися переменными, умножим обе части равенства на dx и разделим на g(y), при условии, что g(y)отлична от нуля:
Полученное уравнение — уравнение с разделенными переменными. Далее — интегрируем его:
и берем интегралы, если это возможно.
Замечание: Мы предполагаем, что g(y) не равна нулю. При этом возможна потеря решений, при которых g(y)=0. Чтобы избежать этого, надо подставить вместо g(y) ноль в условие. Если получается верное равенство, значит, надо решить уравнение g(y)=0, и полученные значения y добавить в ответ.
В другой форме записи дифференциальные уравнения 1го порядка уравнения с разделяющимися переменными выглядят так:
Нужно разделить переменные:
Чтобы слагаемые с y сгруппировать в левой части, а слагаемые с x — в правой, делим обе части на
Получаем:
Теперь интегрируем обе части уравнения:
и пытаемся вычислить интегралы. Разделить переменные — задача, которую приходиться решать в большинстве дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Далее рассмотрим примеры решения уравнений с разделяющимися переменными.