y’=f(x)g(y)

Дифференциальные уравнения 1го порядка с разделяющимися переменными имеют вид y’=f(x)g(y). Так как

    \[y' = \frac{{dy}}{{dx}}, \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = f(x)g(y).\]

Чтобы разделить переменные в уравнении с разделяющимися переменными, умножим обе части равенства на dx и разделим на g(y), при условии, что g(y)отлична от нуля: 

    \[\frac{{dy}}{{g(y)}} = f(x)dx.\]

Полученное уравнение — уравнение с разделенными переменными. Далее — интегрируем его:

    \[\int {\frac{{dy}}{{g(y)}} = \int {f(x)dx,} } \]

и берем интегралы, если это возможно.

Замечание: Мы предполагаем, что g(y) не равна нулю. При этом возможна потеря решений, при которых g(y)=0. Чтобы избежать этого, надо подставить вместо g(y) ноль в условие. Если получается верное равенство, значит, надо решить уравнение g(y)=0, и полученные значения y добавить в ответ.

В другой форме записи дифференциальные уравнения 1го порядка уравнения с разделяющимися переменными выглядят так:

    \[{f_1}(x){g_1}(y)dx + {f_2}(x){g_2}(y)dy = 0.\]

Нужно разделить переменные:

    \[{f_2}(x){g_2}(y)dy =  - {f_1}(x){g_1}(y)dx\]

Чтобы слагаемые с y сгруппировать в левой части, а слагаемые с x — в правой, делим обе части на

    \[{f_2}(x){g_1}(y)\]

Получаем:

    \[\frac{{{g_2}(y)}}{{{g_1}(y)}}dy =  - \frac{{{f_1}(x)}}{{{f_2}(x)}}dx\]

Теперь интегрируем обе части уравнения:

    \[\int {\frac{{{g_2}(y)}}{{{g_1}(y)}}dy =  - \int {\frac{{{f_1}(x)}}{{{f_2}(x)}}dx} } \]

и пытаемся вычислить интегралы. Разделить переменные — задача, которую приходиться решать в большинстве дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Далее рассмотрим примеры решения уравнений с разделяющимися переменными.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *