Примеры уравнений с разделяющимися переменными

Рассмотрим примеры решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

1) Проинтегрировать дифференциальное уравнение:  (1+x²)dy-2xydx=0.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, записанное в виде 

    \[{f_1}(x){g_1}(y)dx + {f_2}(x){g_2}(y)dy = 0.\]

Оставляем слагаемое с dy в левой части уравнения, с dx — переносим в правую часть:

(1+x²)dy = 2xydx

Разделяем переменные, то есть в левой части оставляем только dy и все, что содержит y, в правой dx и x. Для этого обе части уравнения делим на (1+x²) и на y. Получаем

    \[\frac{{dy}}{y} = \frac{{2xdx}}{{1 + {x^2}}}\]

Интегрируем обе части уравнения:

    \[\int {\frac{{dy}}{y} = \int {\frac{{2xdx}}{{1 + {x^2}}}} } \]

В левой части — табличный интеграл. Интеграл в правой части можно найти, например, сделав замену t=1+x², тогда

dt=(1+x²)’dx=2xdx. 

    \[ \Rightarrow \int {\frac{{dy}}{y} = \int {\frac{{dt}}{t}} } , \Rightarrow \ln \left| y \right| = \ln \left| t \right| + C\]

В примерах, где есть возможность провести потенцирование, то есть убрать логарифмы, удобно брать не С, а lnC. Именно так мы и сделаем: ln│y│=ln│t│+ln│C│. Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, то ln│y│=ln│Сt│, откуда y=Ct. Делаем обратную замену,и получаем общее решение: y=C(1+x²).

Мы делили на 1+x²   и на y при условии, что они не равны нулю. Но 1+x² не равно нулю при любых x.  А y=0 при С=0, таким образом, потери корней не произошло.

Ответ: y=C(1+x²).

2) Найти общий интеграл уравнения

    \[\sqrt {4 - {x^2}}  \cdot y' + x{y^2} + x = 0.\]

    \[\sqrt {4 - {x^2}}  \cdot y' + x({y^2} + 1) = 0\]

Переменные можно разделить.

    \[y' = \frac{{dy}}{{dx}}, \Rightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  \cdot \frac{{dy}}{{dx}} =  - x({y^2} + 1)\]

Умножаем обе части уравнения на dx  и делим на

    \[({y^2} + 1)\sqrt {4 - {x^2}} \]

Получаем:

    \[\frac{{dy}}{{{y^2} + 1}} = \frac{{ - xdx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}.\]

Теперь интегрируем 

    \[\int {\frac{{dy}}{{{y^2} + 1}} = \int {\frac{{ - xdx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} } \]

В левой части — табличный интеграл. Справа — делаем замену 4-x²=t, тогда dt=(4-x²)’dx=-2xdx. Получаем

    \[arctgy = \frac{1}{2}\int {\frac{{ - 2xdx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}, \Rightarrow } arctgy = \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{t}} , \Rightarrow arctgy = \frac{1}{2}\ln \left| t \right| + C\]

Если вместо С взять 1/2 ln│C│, можно ответ записать более компактно:

    \[arctgy = \frac{1}{2}\ln \left| t \right| + \frac{1}{2}\ln \left| C \right|, \Rightarrow arctgy = \frac{1}{2}(\ln \left| t \right| + \ln \left| C \right|)\]

Умножим обе части на 2 и применим свойство логарифма:

    \[2arctgy = \ln \left| {Ct} \right|.\]

Мы делили на

    \[({y^2} + 1)\sqrt {4 - {x^2}} \]

  Они не равны нулю: y²+1 — так как сумма неотрицательных чисел не равна нулю, а подкоренное выражение не равно нулю по смыслу условия. Значит, потери корней не произошло.

Ответ:

    \[2arctgy = \ln \left| {Ct} \right|.\]

3) a) Найти общий интеграл уравнения  (xy²+y²)dx+(x²-x²y)dy=0.

б) Найти частный интеграл  этого уравнения, удовлетворяющий начальному условию y(е)=1.

Решение.

а) Преобразуем левую часть уравнения: y²(x+1)dx+x²(1-y)dy=0, затем

y²(x+1)dx=-x²(1-y)dy. Делим обе части на x²y² при условии, что ни x, ни y не равны нулю. Получаем:

    \[\frac{{x + 1}}{{{x^2}}}dx =  - \frac{{1 - y}}{{{y^2}}}dy, \Rightarrow (\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}})dx =  - (\frac{1}{{{y^2}}} - \frac{1}{y})dy\]

Интегрируем уравнение:

    \[\int {(\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}})dx =  - \int {(\frac{1}{{{y^2}}} - \frac{1}{y})dy} } \]

Отсюда 

    \[\ln \left| x \right| - \frac{1}{x} = \frac{1}{y} + \ln \left| y \right| + C, \Rightarrow \ln \left| x \right| - \frac{1}{x} - \frac{1}{y} - \ln \left| y \right| + C\]

Так как разность логарифмов равна логарифму частного, имеем:

    \[\ln \left| {\frac{x}{y}} \right| - \frac{1}{x} - \frac{1}{y} + C = 0, \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \ln \left| {\frac{x}{y}} \right| = C.\]

Это — общий интеграл уравнения. В процессе решения мы ставили условие, что произведение  x²y² не равно нулю, откуда следует, что x и y не должны быть равными нулю. Подставив x=0 и y=0 в условие:(0.0²+0²)dx+(0²-0²0)dy=0 получаем верное равенство 0=0. Значит, x=0 и y=0 тоже являются решениями данного уравнения. Но в общий интеграл они не входят ни при каких С (нули не могут стоять под знаком логарифма и в знаменателе дроби), поэтому эти решения следует записать дополнительно к общему интегралу.

Ответ:

    \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \ln \left| {\frac{x}{y}} \right| = C,x = 0,y = 0.\]

б) Так как y(е)=1, подставляем в полученное решение x=e, y=1 и находим С:

    \[\frac{1}{e} + \frac{1}{1} - \ln \left| {\frac{e}{1}} \right| = C, \Rightarrow C = \frac{1}{e} + 1 - 1 = \frac{1}{e}.\]

Ответ:

    \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \ln \left| {\frac{x}{y}} \right| = \frac{1}{e}.\]

Примеры для самопроверки:

    \[1)(\sqrt {xy}  - \sqrt x )dy + ydx = 0\]

    \[2)\sqrt {4 - {x^2}} y' + x{y^2} + x = 0\]

    \[3)2\sqrt {xy} dx = dy;y(1) = 1.\]

Показать решение

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *