Один в степени бесконечность

Рассмотрим, как раскрывается неопределенность один в степени бесконечность в другой форме записи 2 замечательного предела. В этом случае фактически имеем неопределенность один в степени один на ноль.

Второй замечательный предел иначе можно записать так:  

    \[\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to 0} {(1 + \alpha )^{\frac{1}{\alpha }}} = e,\]

а если α=f(x), при условии f(x)→0, при x→0, имеем:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + f(x))^{\frac{1}{{f(x)}}}} = e.\]

Рассмотрим на примерах, как раскрыть неопределенность один в степени бесконечность в этом случае.

Найти пределы:

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \left[ {{1^{\frac{1}{0}}}} \right] = ?\]

  Получили неопределенность один в степени один на ноль. Поскольку 

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{C}{x} = \infty ,C = const, \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \left[ {{1^{\frac{1}{0}}}} \right] = \left[ {{1^\infty }} \right] = ?\]

Чтобы воспользоваться модификацией второго замечательного предела и раскрыть неопределенность один в степени бесконечность, рассуждаем так:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {(1 + f(x))} \right]^{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {(1 + f(x))} \right]}^{\frac{1}{{f(x)}}}}} \right\}^{f(x) \cdot g(x)}} = \]

    \[ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {f(x) \cdot g(x)} \right]}}.\]

(не забываем о требовании  f(x)→0, при x→0).

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + 3x} \right]}^{\frac{1}{{3x}}}}} \right\}^{3x \cdot \frac{1}{{5x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + 3x} \right]}^{\frac{1}{{3x}}}}} \right\}^{\frac{3}{5}}} = {e^{\frac{3}{5}}}.\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{x^2} + 3x)^{\frac{3}{{7{x^2}}}}} = \left[ {{1^{\frac{3}{0}}}} \right] = \left[ {{1^\infty }} \right] = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + ( - 2{x^2} + 3x)} \right]}^{\frac{1}{{ - 2{x^2} + 3x}}}}} \right\}^{( - 2{x^2} + 3x) \cdot \frac{3}{{7{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 6{x^2} + 9x}}{{7{x^2}}}}} = \]

Чтобы избавиться от неопределенности ноль на ноль в показателе степени, в числителе выносим за скобки общий множитель x и сокращаем дробь на x:

    \[ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x( - 6x + 9)}}{{7{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 6x + 9}}{{7x}}}} = \left[ {{e^{\frac{9}{0}}}} \right] = {e^\infty } = \infty .\]

Будьте внимательны! Если в примере нет неопределенности, предел вычисляем непосредственно:

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{x^2} + 3x)^{\frac{3}{{7{x^2} + 1}}}} = {1^3} = 1.\]

    \[4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + \sin 3x)^{\frac{1}{{2x}}}} = \left[ {{1^\infty }} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {{{(1 + \sin 3x)}^{\frac{1}{{\sin 3x}}}}} \right]^{\frac{{\sin 3x}}{{2x}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{2x}}}} = \]

Неопределенность вида ноль на ноль в показателе степени — первый замечательный предел:

    \[ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin 3x}}{{3x}} \cdot 3x}}{{2x}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin 3x}}{{3x}} \cdot 3}}{2}}} = {e^{\frac{{1 \cdot 3}}{2}}} = {e^{\frac{3}{2}}}.\]

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *