Предел показательной функции

  Рассмотрим два следствия из 2-го замечательного предела, с помощью которых можно найти предел показательной функции, в том числе, предел экспоненты.

    \[I.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\]

    \[II.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x} = \ln a.\]

Эти формулы можно применять и для случаев, когда на месте x стоит f(x), при условии, что при x→0, f(x)→0:

    \[(Ia).\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{f(x)}} - 1}}{{f(x)}} = 1,f(x) \to 0,\]

    \[(IIa).\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^{f(x)}} - 1}}{{f(x)}} = \ln a,f(x) \to 0.\]

Проиллюстрируем, как найти предел показательной функции, в частности, предел экспоненты, на примерах.

Найти предел функции:

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{3x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{ - 2x}} \cdot ( - 2x)}}{{3x}} = \]

 Сокращаем дробь на x. Получаем в числителе выражение вида (Ia), а значит, можем применить это следствие из 2-го замечательного предела:

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{ - 2x}} \cdot ( - 2)}}{3} = \frac{{1 \cdot ( - 2)}}{3} =  - \frac{2}{3}.\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - {a^{7x}}}}{{5x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{({e^{3x}} - 1) - ({a^{7x}} - 1)}}{{5x}} = \]

Здесь мы вычли и прибавили единицу, поэтому в итоге значение выражения, стоящего в числителе, не изменилось.

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} \cdot 3x - \frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} \cdot 7x}}{{5x}} = \]

Выносим общий множитель x за скобки и сокращаем на него: 

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(\frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} \cdot 3 - \frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} \cdot 7)}}{{5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} \cdot 3 - \frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} \cdot 7}}{5} = \]

В числителе получили выражения вида (Ia) и (IIа)

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 \cdot 3 - \ln 7 \cdot 7}}{5} = \frac{{3 - 7\ln 7}}{5}.\]

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{10x}} - 1}}{{\sin 11x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{10x}} - 1}}{{10x}} \cdot 10x}}{{\frac{{\sin 11x}}{{11x}} \cdot 11x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{10x}} - 1}}{{10x}} \cdot 10}}{{\frac{{\sin 11x}}{{11x}} \cdot 11}} = \]

В числителе — выражение вида (Ia), в знаменателе — 1й замечательный предел:

    \[ = \frac{{1 \cdot 10}}{{1 \cdot 11}} = \frac{{10}}{{11}}.\]

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>