Как определить однородное уравнение

Дифференциальное уравнение 1-го порядка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется однородным, если P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции одинакового измерения, то есть

$P({\lambda ^n}x;{\lambda ^n}y) = {\lambda ^n}P(x;y),Q({\lambda ^n}x;{\lambda ^n}y) = {\lambda ^n}Q(x;y).$

Как определить, что дифференциальное уравнение — однородное? На практике проверку уравнения на однородность проводят следующим образом: вместо каждого x подставляют λx, вместо каждого y — λy. При этом y’, dx и dy не трогают. После этого упрощают уравнение. Если после упрощения удается сократить на λ (или n- ю степень λ) и получить исходное уравнение, то это и означает, что данное уравнение является однородным уравнением 1-го порядка.

Другая форма записи: y’=f(x;y). Это уравнение является однородным, если функция f(x;y) является однородной функцией нулевого порядка. Это означает, что f(λx;λy)=f(x;y).

Примеры.

$1)y' = \frac{{2{x^2} + 3{y^2}}}{{4xy}}.$

Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy:

$y' = \frac{{2{{(\lambda x)}^2} + 3{{(\lambda y)}^2}}}{{4\lambda x\lambda y}}$

$y' = \frac{{2{\lambda ^2}{x^2} + 3{\lambda ^2}{y^2}}}{{4{\lambda ^2}xy}}$

Выносим лямбда в квадрате за скобки и сокращаем на него:

$y' = \frac{{{\lambda ^2}(2{x^2} + 3{y^2})}}{{4{\lambda ^2}xy}}$

$y' = \frac{{2{x^2} + 3{y^2}}}{{4xy}}$

Пришли к исходному уравнению, а это значит, что данное уравнение — однородное.

2) (x-y)ydx-x²dy=0.

Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy: (λx-λy)λydx-(λx)²dy=0. Теперь выносим общий множитель λ² за скобки: λ²((x-y)ydx-x²dy)=0. Делим обе части уравнения на λ²:

(x-y)ydx-x²dy=0. Пришли к исходному уравнению, значит, это уравнение — однородное. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 2й степени).

$3)y' = \frac{y}{x} + \sin \frac{y}{x}.$