Как определить однородное уравнение

Дифференциальное уравнение 1-го порядка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется однородным, если P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции одинакового измерения, то есть

    \[P({\lambda ^n}x;{\lambda ^n}y) = {\lambda ^n}P(x;y),Q({\lambda ^n}x;{\lambda ^n}y) = {\lambda ^n}Q(x;y).\]

Как определить, что дифференциальное уравнение — однородное?  На практике проверку уравнения на однородность проводят следующим образом: вместо каждого x подставляют λx, вместо каждого y — λy. При этом y’, dx и dy не трогают. После этого упрощают уравнение. Если после упрощения удается сократить на λ (или n- ю степень λ) и получить исходное уравнение, то это и означает, что данное уравнение является однородным уравнением 1-го порядка.

Другая форма записи: y’=f(x;y). Это уравнение является однородным, если функция f(x;y) является однородной функцией нулевого порядка. Это означает, что f(λx;λy)=f(x;y).

Примеры.

    \[1)y' = \frac{{2{x^2} + 3{y^2}}}{{4xy}}.\]

Подставляем вместо каждого x  λx, вместо каждого y — λy:

    \[y' = \frac{{2{{(\lambda x)}^2} + 3{{(\lambda y)}^2}}}{{4\lambda x\lambda y}}\]

    \[y' = \frac{{2{\lambda ^2}{x^2} + 3{\lambda ^2}{y^2}}}{{4{\lambda ^2}xy}}\]

Выносим лямбда в квадрате за скобки и сокращаем на него:

    \[y' = \frac{{{\lambda ^2}(2{x^2} + 3{y^2})}}{{4{\lambda ^2}xy}}\]

    \[y' = \frac{{2{x^2} + 3{y^2}}}{{4xy}}\]

Пришли к исходному уравнению, а это значит, что данное уравнение — однородное.

2) (x-y)ydx-x²dy=0.

Подставляем вместо каждого x  λx, вместо каждого y — λy: (λx-λy)λydx-(λx)²dy=0. Теперь выносим общий множитель λ² за скобки:                  λ²((x-y)ydx-x²dy)=0.   Делим обе части уравнения на λ²:

(x-y)ydx-x²dy=0. Пришли к исходному уравнению, значит, это уравнение — однородное. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 2й степени).

    \[3)y' = \frac{y}{x} + \sin \frac{y}{x}.\]

Наличие дроби y/x уже косвенно указывает на то, что уравнение может быть однородным. Проверим, так ли это:

    \[y' = \frac{{\lambda y}}{{\lambda x}} + \sin \frac{{\lambda y}}{{\lambda x}}\]

После сокращения на λ получаем исходное уравнение:

    \[y' = \frac{y}{x} + \sin \frac{y}{x},\]

а это значит, что данное уравнение является однородным.

4)

    \[({y^4} - 2{x^3}y)dx + ({x^4} - 2x{y^3})dy = 0.\]

Подставляем вместо каждого x  λx, вместо каждого y — λy:

    \[({(\lambda y)^4} - 2{(\lambda x)^3}\lambda y)dx + ({(\lambda x)^4} - 2\lambda x{(\lambda y)^3})dy = 0\]

    \[{\lambda ^4}({y^4} - 2{x^3}y)dx + {\lambda ^4}({x^4} - 2x{y^3})dy = 0\]

Делим обе части уравнения на лямбда в 4й степени:

    \[({y^4} - 2{x^3}y)dx + ({x^4} - 2x{y^3})dy = 0.\]

Получили исходное уравнение, а значит, оно является однородным. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 4й степени).

Теперь рассмотрим, как решать однородные дифференциальные уравнения 1го порядка.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>