Примеры производных

Изучить конкретные примеры нахождения производных с подробными пояснениями — лучший способ научиться находить производную самостоятельно.

После разбора производной степени, производной суммы и разности, производной произведения, производной частного и производной сложной функции настал черед рассмотреть примеры производных, в которых используются сразу несколько правил дифференцирования.

1) y=4x²cos(11-x²).

Данная функция представляет собой  произведение функций, где u=4x², v=cos(11-x²). По правилу дифференцирования произведения:

y’=(4x²)’· cos(11-x²)+(cos(11-x²))’·4x²=

первая из функций — степенная, вторая — сложная функция, где внешняя функция f=cos u, внутренняя u=11-x². Применяя соответствующие правила, имеем:

=4·2x·cos(11-x²)+(-sin(11-x²))·(11-x²)’·4x²=8x·cos(11-x²)-sin(11-x²)·(-2x)·4x²=8x·cos(11-x²)+8x³sin(11-x²).

    \[2)y = \frac{{2\sin 3x - 1}}{{\sqrt x }}\]

Эта функция — частное. u=2sin3x-1, v=√x. По правилу дифференцирования частного:

    \[y' = \frac{{(2\sin 3x - 1)' \cdot \sqrt x  - (\sqrt x )' \cdot (2\sin 3x - 1)}}{{{{(\sqrt x )}^2}}} = \]

В свою очередь, числитель представляет собой разность двух функций, первая из которых, sin3x — сложная (f=sin u, u=3x, а число выносим за знак производной). Применяем правила для дифференцирования разности и сложной функции, имеем:

    \[ = \frac{{2 \cdot \cos 3x \cdot (3x)' \cdot \sqrt x  - \frac{1}{{2\sqrt x }} \cdot (2\sin 3x - 1)}}{x} = \]

    \[ = \frac{{2\cos 3x \cdot 3 \cdot \sqrt x  - \frac{{2\sin 3x - 1}}{{2\sqrt x }}}}{x} = \frac{{6\sqrt x \cos 3x - \frac{{2\sin 3x - 1}}{{2\sqrt x }}}}{x} = \]

Теперь выражениz в числителе приводим к общему знаменателю 2√x:

    \[ = \frac{{\frac{{6\sqrt x \cos 3x \cdot 2\sqrt x  - (2\sin 3x - 1)}}{{2\sqrt x }}}}{x} = \frac{{12x\cos 3x - 2\sin 3x + 1}}{{2x\sqrt x }}.\]

3) y=(lnx-tg7x)³

Это — сложная функция, внешняя функция f=u³, внутренняя u=lnx-tg7x. По правилу дифференцирования сложной функции: y’=3(lnx-tg7x)²·(lnx-tg7x)’=

в свою очередь, внутренняя функция представляет собой разность двух функций, где вторая — сложная функция (f=tgu, u=7x). Применяя правила для нахождения производной разности и сложной функции, получаем:

    \[y' = 3{(\ln x - tg7x)^2} \cdot (\frac{1}{x} - \frac{1}{{{{\cos }^2}7x}} \cdot (7x)') = \]

    \[ = 3{(\ln x - tg7x)^2} \cdot (\frac{1}{x} - \frac{7}{{{{\cos }^2}7x}}) = 3{(\ln x - tg7x)^2} \cdot \frac{{{{\cos }^2}7x - 7x}}{{x{{\cos }^2}7x}} = \]

    \[ = \frac{{3({{\cos }^2}7x - 7x){{(\ln x - tg7x)}^2}}}{{x{{\cos }^2}7x}}.\]

    \[4)y = \sqrt[4]{{arctg10x}}\]

Это — сложная функция. Внешняя функция f — корень четвертой степени из u, внутренняя u=arctg10x. Преобразуем корень четвертой степени в степень с дробным показателем, затем дифференцируем:

    \[y = {(arctg10x)^{\frac{1}{4}}}, \Rightarrow f = {u^{\frac{1}{4}}},u = arctg10x\]

    \[y' = \frac{1}{4}{(arctg10x)^{\frac{1}{4} - 1}} \cdot (arctg10x)' = \]

В свою очередь, arctg10x — также сложная функция. Здесь внешняя функция f=arctgu, внутренняя u=10x:

    \[ = \frac{1}{4}{(arctg10x)^{ - \frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{{1 + {{(10x)}^2}}} \cdot (10x)' = \]

Степень с дробным отрицательным показателем нужно преобразовать:

    \[ = \frac{1}{{4{{(arctg10x)}^{\frac{3}{4}}}}} \cdot \frac{{10}}{{1 + 100{x^2}}} = \frac{5}{{2(1 + 100{x^2})\sqrt[4]{{{{(arctg10x)}^3}}}}}.\]

    \[5)y = \frac{{{4^{\cos 8x}} \cdot \sin x}}{{3x + 1}}\]

Это — пример производной частного:

    \[y' = \frac{{({4^{\cos 8x}} \cdot \sin x)' \cdot (3x + 1) - (3x + 1)' \cdot ({4^{\cos 8x}} \cdot \sin x)}}{{{{(3x + 1)}^2}}} = \]

свою очередь, числитель представляет собой производную произведения:

    \[ = \frac{{(({4^{\cos 8x}})' \cdot \sin x + (\sin x)'{4^{\cos 8x}}) \cdot (3x + 1) - 3 \cdot {4^{\cos 8x}} \cdot \sin x}}{{{{(3x + 1)}^2}}} = \]

Первый множитель, в свою очередь — сложная функция. Внешняя функция — показательная, 4 в степени u, внутренняя — u=cos8x:

    \[ = \frac{{{4^{\cos 8x}}[(\ln 4 \cdot (\cos 8x)' \cdot \sin x + \cos x) \cdot (3x + 1) - 3\sin x]}}{{{{(3x + 1)}^2}}} = \]

Внешняя функция f=cos u, внутренняя u=8x:

    \[ = \frac{{{4^{\cos 8x}}[(\ln 4( - \sin 8x) \cdot (8x)' \cdot \sin x + \cos x)(3x + 1) - 3\sin x]}}{{{{(3x + 1)}^2}}} = \]

    \[ = \frac{{{4^{\cos 8x}}[( - 8\ln 4\sin 8x\sin x + \cos x)(3x + 1) - 3\sin x]}}{{{{(3x + 1)}^2}}}.\]

    \[6)y = xarctgx + \ln \cos x + {e^{5x}}\]

Это — пример производной, где сначала нужно применить правило дифференцирования суммы:

    \[y' = (xarctgx)' + (\ln \cos x)' + ({e^{5x}})' = \]

Первое слагаемое — произведение функций, второе — сложная функция (f=lnu, u=cosx), третье слагаемое — также сложная функция (f- е в степени u, u=5x):

    \[ = x'arctgx + (arctgx)' \cdot x + \frac{1}{{\cos x}} \cdot (\cos x)' + {e^{5x}} \cdot (5x)' = \]

    \[ = arctgx + \frac{x}{{1 + {x^2}}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 5{e^{5x}} = \]

    \[ = arctgx + \frac{x}{{1 + {x^2}}} - tgx + 5{e^{5x}}.\]

    \[7)y = \ln \sqrt {\frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} - 1}}} \]

Эта функция — сложная. Однако здесь можно применить свойства логарифмов, после чего дифференцировать функцию станет гораздо проще:

    \[7)y = \ln \sqrt {\frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} - 1}}}  = \ln {(\frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} - 1}})^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\ln (\frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} - 1}}) = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\ln ({x^2} + 4x) - \ln ({x^2} - 1)).\]

    \[y' = \frac{1}{2}(\frac{1}{{{x^2} + 4x}} \cdot ({x^2} + 4x)' - \frac{1}{{{x^2} - 1}} \cdot ({x^2} - 1)') = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\frac{{2x + 4}}{{{x^2} + 4x}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}) = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x}} - \frac{x}{{{x^2} - 1}}.\]

Примеры производных для самопроверки:

    \[1)y = \sin 3x + \cos \frac{x}{5} + tg\sqrt x ;\]

    \[2)y = \ln {(\frac{{3x + 5}}{{{x^3} + 1}})^2};\]

    \[3)y = \frac{{\sqrt {2x - 5} }}{{{e^{8x}}}};\]

    \[4)y = {(5 - {x^2})^{10}} \cdot \sqrt {4{x^3} - 11x.} \]

Показать решение

3 Comments

  1. юля:

    Спасибо большое! очень очень помогли!)

  2. dorson:

    В последнем примере самопроверки при упрощении куда-то пропала 10-я степень.

    1. admin:

      За скобки вынесли в качестве общего множителя (в 9й степени).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *