Показательно-степенная функция (точнее, сложно-показательная функция) — это функция вида
то есть функция, в которой переменная содержится и в основании степени, и в ее показателе. Примеры показательно степенных функций:
Чтобы найти производную показательно-степенной функции, нужно прологарифмировать обе части формулы, задающей функцию, по одинаковому основанию (как правило, логарифмируют по основанию e, потому что производная натурального логарифма — самая простая из всех производных логарифмов). Затем берут производную от обеих частей полученного равенства. Такая производная от логарифма функции называется логарифмической производной.
Рассмотрим поэтапно схему нахождения производной показательно-степенной функции с помощью логарифмической производной. Для упрощения записи обозначим f(x)=u, g(x)=v, тогда показательно-степенная функция принимает вид
Наша задача — найти производную этой функции.
Схема нахождения производной показательно-степенной функции:
1. Логарифмируем обе части равенства по основанию e:
Поскольку степень можно вынести за знак логарифма, имеем:
2. Дифференцируем обе части равенства. При этом помним, что y зависит x, и u зависит от x, то есть lny и lnu — сложные функции. А значит, их производные равны произведению производных внешней функции — логарифма (f=lnu) и внутренней функции (u=y или u=u). В правой части стоит произведение двух функций, то есть надо применить правило дифференцирования произведения:
3. Обе части равенства умножаем на y:
4. Теперь вспоминаем, что
и подставляем в формулу вместо y это выражение:
Хорошая статья, но слишком мало информации