Показательно-степенная функция

Показательно-степенная функция (точнее, сложно-показательная функция) — это функция вида

    \[y = {\left[ {f(x)} \right]^{g(x)}}\]

то есть функция, в которой переменная содержится и в основании степени, и в ее показателе. Примеры показательно степенных функций:

    \[y = {x^x};y = {(\sin x)^{\cos x}};y = {(4x + 7)^{3x}};y = {(2x)^{\sqrt x }}.\]

Чтобы найти производную показательно-степенной функции, нужно прологарифмировать обе части формулы, задающей функцию, по одинаковому основанию (как правило, логарифмируют по основанию e, потому что производная натурального логарифма — самая простая из всех производных логарифмов). Затем берут производную от обеих частей полученного равенства. Такая производная от логарифма функции называется логарифмической производной.

Рассмотрим поэтапно схему нахождения производной показательно-степенной функции с помощью логарифмической производной. Для упрощения записи обозначим f(x)=u, g(x)=v, тогда показательно-степенная функция принимает вид

    \[y = {u^v}.\]

Наша задача — найти производную этой функции.

Схема нахождения производной показательно-степенной функции:

1. Логарифмируем обе части равенства по основанию e:

    \[\ln y = \ln {u^v}\]

Поскольку степень можно вынести за знак логарифма, имеем:

    \[\ln y = v\ln u.\]

2. Дифференцируем обе части равенства. При этом помним, что y зависит x, и u зависит от x, то есть lny и lnu — сложные функции. А значит,  их производные  равны произведению производных внешней функции — логарифма (f=lnu) и  внутренней функции (u=y или u=u). В правой части стоит произведение двух функций, то есть надо применить правило дифференцирования произведения:

    \[(\ln y)' = (v \cdot \ln u)'\]

    \[\frac{1}{y} \cdot y' = v' \cdot \ln u + (\ln u)' \cdot v\]

    \[\frac{1}{y} \cdot y' = v' \cdot \ln u + \frac{1}{u} \cdot u' \cdot v\]

3. Обе части равенства умножаем на y:

    \[y' = (v' \cdot \ln u + \frac{{u' \cdot v}}{u}) \cdot y\]

4. Теперь вспоминаем, что

    \[y = {u^v},\]

и подставляем в формулу вместо y это выражение:

    \[y' = (v' \cdot \ln u + \frac{{u' \cdot v}}{u}) \cdot {u^v}.\]

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>