Производная сложной функции. Примеры.

Мы уже рассмотрели понятие сложной функции. Следующий этап — нахождение производной. Легче всего понять, как находится производная сложной функции, рассматривая конкретные примеры.

Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f'(u)·u'(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u. На первых порах нам поможет разобраться, как находится производная сложной функции для каждой конкретной функции, следующая таблица:

    \[\begin{array}{*{20}{l}} {({u^n})' = n \cdot {u^{n - 1}} \cdot u'}&{({{\log }_a}u)' = \frac{1}{{u\ln a}} \cdot u'} \\ {(\sqrt u )' = \frac{1}{{2\sqrt u }} \cdot u'}&{({e^u})' = {e^u} \cdot u'} \\ {(\sin u)' = \cos u \cdot u'}&{({a^u})' = {a^u} \cdot \ln a \cdot u'} \\ {(\cos u)' =  - \sin u \cdot u'}&{(\arcsin u)' = \frac{1}{{\sqrt {1 - {u^2}} }} \cdot u'} \\ {(tgu)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}u}} \cdot u'}&{(\arccos u)' =  - \frac{1}{{\sqrt {1 - {u^2}} }} \cdot u'} \\ {(ctgu)' =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}u}} \cdot u'}&{(arctgu)' = \frac{1}{{1 + {u^2}}} \cdot u'} \\ {(\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u'}&{(arcctgu)' =  - \frac{1}{{1 + {u^2}}} \cdot u'} \end{array}\]

Кроме того, полезно помнить следующие формулы:

    \[(\frac{1}{u})' =  - \frac{1}{{{u^2}}} \cdot u'\]

    \[(\frac{1}{{{u^n}}})' = ({u^{ - n}})' =  - n \cdot {u^{ - n - 1}} \cdot u' =  - \frac{{n \cdot u'}}{{{u^{n + 1}}}}\]

    \[(\sqrt[n]{{{u^m}}})' = ({u^{\frac{m}{n}}})' = \frac{m}{n} \cdot {u^{\frac{m}{n} - 1}} \cdot u' = \]

    \[ = \frac{m}{n} \cdot {u^{\frac{{m - n}}{n}}} \cdot u' = \frac{m}{n} \cdot \sqrt[n]{{{u^{m - n}}}} \cdot u'.\]

Итак, найти производную сложной функции. Примеры.

1) y=sin(2x+3). Здесь внешняя функция синус: f=sinu, внутренняя — линейная: u=2x+3. Соответственно, производная данной сложной функции есть y’=cos(2x+3)·(2x+3)’=c0s(2x+3)·2=2c0s(2x+3).

2) y=cos(5-7x). Внешняя функция — косинус: f=cosu, внутренняя — линейная: u=5-7x. Поэтому y’=- sin(5-7x)·(5-7x)’=- sin(5-7x)·(-7)=7sin(5-7x).

    \[3)y = \sqrt {4{x^3} - 12x + 8.} \]

    \[y' = \frac{1}{{2\sqrt {4{x^3} - 12x + 8} }} \cdot (4{x^3} - 12x + 8)' = \]

    \[ = \frac{{12{x^2} - 12}}{{2\sqrt {4{x^3} - 12x + 8} }} = \frac{{12{x^2} - 12}}{{2\sqrt {4{x^3} - 12x + 8} }} = \frac{{6{x^2} - 6}}{{\sqrt {4{x^3} - 12x + 8} }}.\]

    \[4)y = \ln (5{x^7} - 3x - 11)\]

    \[f = \ln u,u = 5{x^7} - 3x - 11, \Rightarrow \]

    \[y' = \frac{1}{{5{x^7} - 3x - 11}} \cdot (5{x^7} - 3x - 11)' = \frac{{35{x^6} - 3}}{{5{x^7} - 3x - 11}}.\]

    \[5)y = ctg\frac{{4x}}{{11}}\]

    \[f = ctgu,u = \frac{{4x}}{{11}}, \Rightarrow y' =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{{4x}}{{11}}}} \cdot (\frac{{4x}}{{11}})' =  - \frac{4}{{11{{\sin }^2}\frac{{4x}}{{11}}}}.\]

    \[6)y = tg(5x + \frac{\pi }{8})\]

Здесь f=tgu, u=5x+π/8. π- число, значит, π/8 — тоже число, то есть (5x+π/8)’=5

    \[y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}(5x + \frac{\pi }{8})}} \cdot (5x + \frac{\pi }{8})' = \frac{5}{{{{\cos }^2}(5x + \frac{\pi }{8})}}.\]

    \[7)y = {(3x - 17)^{10}}\]

    \[f = {u^{10}},u = 3x - 17, \Rightarrow y' = 10{(3x - 17)^9} \cdot (3x - 17)' = \]

    \[ = 10{(3x - 17)^9} \cdot 3 = 30{(3x - 17)^9}.\]

8) y=sin²x. Здесь f=u², u=sinx. Почему так? Но ведь sin²x=(sinx)². Полезно запомнить, что, как только появляется степень, то внешняя функция — степенная, а внутренняя — это то, что в степень возводится. Итак, производная данной сложной функции есть

y’=2·sinx·(sinx)’=2sinxcosx=sin 2x.

    \[9)y = arctg(7x + 1)\]

    \[f = arctgu,u = 7x + 1, \Rightarrow y' = \frac{1}{{1 + {{(7x + 1)}^2}}} \cdot (7x + 1)' = \]

    \[ = \frac{7}{{1 + 49{x^2} + 14x + 1}} = \frac{7}{{49{x^2} + 14x + 2}}.\]

    \[10)y = \frac{4}{{{{(5x - 6)}^7}}}\]

    \[y = 4{(5x - 6)^{ - 7}},f = 4{u^{ - 7}},u = 5x - 6, \Rightarrow \]

    \[y' = 4 \cdot ( - 7{(5x - 6)^{ - 7 - 1}}) \cdot (5x - 6)' = \]

    \[ =  - 28{(5x - 6)^{ - 8}} \cdot 5 =  - \frac{{140}}{{{{(5x - 6)}^8}}}.\]

    \[11)y = \sqrt[4]{{{{(3 - 2x)}^3}}}\]

    \[y = {(3 - 2x)^{\frac{3}{4}}},f = {u^{\frac{3}{4}}},u = 3 - 2x, \Rightarrow \]

    \[y' = \frac{3}{4}{(3 - 2x)^{\frac{3}{4} - 1}} \cdot (3 - 2x)' = \frac{3}{4}{(3 - 2x)^{ - \frac{1}{4}}} \cdot ( - 2) = \]

    \[ =  - \frac{3}{{2{{(3 - 2x)}^{\frac{1}{4}}}}} =  - \frac{3}{{2\sqrt[4]{{3 - 2x}}}}.\]

    \[12)y = \frac{3}{{\sqrt[7]{{{{(5x - 4)}^3}}}}}\]

    \[y = 3{(5x - 4)^{ - \frac{3}{7}}},f = 3{u^{ - \frac{3}{7}}},u = 5x - 4, \Rightarrow \]

    \[y' = 3 \cdot ( - \frac{3}{7}){(5x - 4)^{ - \frac{3}{7} - 1}} \cdot (5x - 4)' =  - \frac{9}{7}{(5x - 4)^{ - \frac{{10}}{7}}} \cdot 5 = \]

    \[ =  - \frac{{45}}{{7{{(5x - 4)}^{\frac{{10}}{7}}}}} =  - \frac{{45}}{{7\sqrt[7]{{{{(5x - 4)}^{10}}}}}}.\]

Найти производную сложной функции. Примеры для самопроверки.

    \[1)y = {(6{x^3} - 7)^4};\]

    \[2)y = \sqrt {3{x^2} - 8x + 5} ;\]

    \[3)y = \sin (3x - \frac{\pi }{{12}});\]

    \[4)y = {\cos ^5}x;\]

    \[5)y = \ln (7\sin x + 5x).\]

Показать решение

 

2 Comments

  1. Жобаган:

    авторам данного сайта, большое спасибо! Уже понял этот урок

  2. wexxler:

    Большое спасибо за данный ресурс. Сразу понял что к чему, без проблем решил домашнее задание!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>