Производная частного

При дифференцировании функций нахождение производной частного обычно вызывает наибольшие затруднения. Лучший способ разобраться и понять, как находится производная частного, — рассмотреть конкретные примеры с подробными пояснениями.

Именно этим мы сейчас и займемся. Для дифференцирования нам понадобится таблица производных. Напишем еще раз правило, по которому берется производная частного:

    \[(\frac{u}{v})' = \frac{{u'v - v'u}}{{{v^2}}}\]

(Поначалу неплохо его выписать на листочек и держать перед глазами). В отличие от производной произведения, затруднений с определением, где здесь u,  а где — v, в производной частного нет: понятно, что все, что вверху, в числителе — это u, а все что внизу, в знаменателе — v. Если u и v — табличные функции, производная частного может быть найдена легко: достаточно расписать все по формуле, найти каждую из производных, и упростить.

Пример. Найти производную частного:

    \[1)y = \frac{{2 - 4x}}{{3x + 7}}.\]

Здесь u=2-4x, v=3x+7

    \[y' = (\frac{{2 - 4x}}{{3x + 7}})' = \frac{{(2 - 4x)' \cdot (3x + 7) - (3x + 7)' \cdot (2 - 4x)}}{{{{(3x + 7)}^2}}} = \]

Производную линейной функции полезно помнить: (kx+b)’=k, где k и b — числа, причем k — число, стоящее перех x. А можно найти как производную суммы: (kx+b)’=k·x’+b’=k·1+0=k. Таким образом, (2-4x)’=-4, (3x+7)’=3, и знак умножения перед скобкой и перед буквой обычно не пишется

    \[ = \frac{{ - 4(3x + 7) - 3(2 - 4x)}}{{{{(3x + 7)}^2}}} = \frac{{ - 12x - 28 - 6 + 12x}}{{{{(3x + 7)}^2}}} =  - \frac{{34}}{{{{(3x + 7)}^2}}}.\]

    \[2)y = \frac{{3\cos x}}{{4{x^7}}}, \Rightarrow u = 3\cos x,v = 4{x^7}\]

    \[y' = \frac{{(3\cos x)' \cdot 4{x^7} - (4{x^7})' \cdot 3\cos x}}{{{{(4{x^7})}^2}}} = \]

    \[ = \frac{{3 \cdot ( - \sin x) \cdot 4{x^7} - 4 \cdot 7{x^6} \cdot 3\cos x}}{{16{x^{14}}}} = \]

    \[ = \frac{{ - 12{x^7}\sin x - 84{x^6}\cos x}}{{16{x^{14}}}} = \]

Общий множитель в числителе выносим за скобку, затем дробь сокращаем:

    \[ = \frac{{ - 12{x^6}(x\sin x + 7\cos x)}}{{16{x^{14}}}} = \frac{{ - 3(x\sin x + 7\cos x)}}{{4{x^8}}}.\]

    \[3)y = \frac{{2{x^3} + 7x - 5}}{{6x - 8}}\]

u=2x³+7x-5, v=6x-8. Расписываем по формуле производной частного:

    \[y' = \frac{{(2{x^3} + 7x - 5)' \cdot (6x - 8) - (6x - 8)' \cdot (2{x^3} + 7x - 5)}}{{{{(6x - 8)}^2}}} = \]

здесь числитель представляет собой сумму и разность функций. Как находить производную суммы и разности, мы уже знаем.

    \[ = \frac{{(2 \cdot 3{x^2} + 7) \cdot (6x - 8) - 6 \cdot (2{x^3} + 7x - 5)}}{{{{(6x - 8)}^2}}} = \]

    \[ = \frac{{36{x^3} - 48{x^2} + 42x - 56 - 12{x^3} - 42x + 30}}{{{{(6x - 8)}^2}}} = \]

    \[ = \frac{{24{x^3} - 48{x^2} - 26}}{{{{(6x - 8)}^2}}}.\]

    \[4)y = \frac{{4\ln x + 1}}{{2\sqrt x }}.\]

Здесь u=2lnx+1, v=2√x. Значит, производная частного равна

    \[y' = \frac{{(4\ln x + 1)' \cdot 2\sqrt x  - (2\sqrt x )' \cdot (4\ln x + 1)}}{{{{(2\sqrt x )}^2}}} = \]

    \[ = \frac{{4 \cdot \frac{1}{x} \cdot 2\sqrt x  - 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }} \cdot (4\ln x + 1)}}{{4x}} = \]

    \[ = \frac{{\frac{8}{{\sqrt x }} - \frac{{4\ln x + 1}}{{\sqrt x }}}}{{4x}} = \frac{{8 - (4\ln x + 1)}}{{\sqrt x }}:(4x) = \]

    \[ = \frac{{8 - 4\ln x - 1}}{{4x\sqrt x }} = \frac{{7 - 4\ln x}}{{4x\sqrt x }}.\]

Примеры для самопроверки. Найти производную частного:

    \[1)y = \frac{{5{x^2} - 8x}}{{7 - x}};2)y = \frac{{12x - 7{x^4}}}{{1 - \cos x}}.\]

Показать решение

Пока что мы рассмотрели только самые простые примеры на производную частного. В более сложных примерах числитель и знаменатель дроби могут быть сложными функциями, либо являться, в свою очередь, производными произведения и частного. Такие примеры мы обсудим чуть позже.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>