Производная частного

При дифференцировании функций нахождение производной частного обычно вызывает наибольшие затруднения. Лучший способ разобраться и понять, как находится производная частного, — рассмотреть конкретные примеры с подробными пояснениями.

Именно этим мы сейчас и займемся. Для дифференцирования нам понадобится таблица производных. Напишем еще раз правило, по которому берется производная частного:

$(\frac{u}{v})' = \frac{{u'v - v'u}}{{{v^2}}}$

(Поначалу неплохо его выписать на листочек и держать перед глазами). В отличие от производной произведения, затруднений с определением, где здесь u, а где — v, в производной частного нет: понятно, что все, что вверху, в числителе — это u, а все что внизу, в знаменателе — v. Если u и v — табличные функции, производная частного может быть найдена легко: достаточно расписать все по формуле, найти каждую из производных, и упростить.

Пример. Найти производную частного:

$1)y = \frac{{2 - 4x}}{{3x + 7}}.$

Здесь u=2-4x, v=3x+7

$y' = (\frac{{2 - 4x}}{{3x + 7}})' = \frac{{(2 - 4x)' \cdot (3x + 7) - (3x + 7)' \cdot (2 - 4x)}}{{{{(3x + 7)}^2}}} =$

Производную линейной функции полезно помнить: (kx+b)’=k, где k и b — числа, причем k — число, стоящее перех x. А можно найти как производную суммы: (kx+b)’=k·x’+b’=k·1+0=k. Таким образом, (2-4x)’=-4, (3x+7)’=3, и знак умножения перед скобкой и перед буквой обычно не пишется

$= \frac{{ - 4(3x + 7) - 3(2 - 4x)}}{{{{(3x + 7)}^2}}} = \frac{{ - 12x - 28 - 6 + 12x}}{{{{(3x + 7)}^2}}} = - \frac{{34}}{{{{(3x + 7)}^2}}}.$

$2)y = \frac{{3\cos x}}{{4{x^7}}}, \Rightarrow u = 3\cos x,v = 4{x^7}$

$y' = \frac{{(3\cos x)' \cdot 4{x^7} - (4{x^7})' \cdot 3\cos x}}{{{{(4{x^7})}^2}}} =$

$= \frac{{3 \cdot ( - \sin x) \cdot 4{x^7} - 4 \cdot 7{x^6} \cdot 3\cos x}}{{16{x^{14}}}} =$

$= \frac{{ - 12{x^7}\sin x - 84{x^6}\cos x}}{{16{x^{14}}}} =$

Общий множитель в числителе выносим за скобку, затем дробь сокращаем:

$= \frac{{ - 12{x^6}(x\sin x + 7\cos x)}}{{16{x^{14}}}} = \frac{{ - 3(x\sin x + 7\cos x)}}{{4{x^8}}}.$

$3)y = \frac{{2{x^3} + 7x - 5}}{{6x - 8}}$

u=2x³+7x-5, v=6x-8. Расписываем по формуле производной частного:

$y' = \frac{{(2{x^3} + 7x - 5)' \cdot (6x - 8) - (6x - 8)' \cdot (2{x^3} + 7x - 5)}}{{{{(6x - 8)}^2}}} =$

здесь числитель представляет собой сумму и разность функций. Как находить производную суммы и разности, мы уже знаем.

$= \frac{{(2 \cdot 3{x^2} + 7) \cdot (6x - 8) - 6 \cdot (2{x^3} + 7x - 5)}}{{{{(6x - 8)}^2}}} =$

$= \frac{{36{x^3} - 48{x^2} + 42x - 56 - 12{x^3} - 42x + 30}}{{{{(6x - 8)}^2}}} =$

$= \frac{{24{x^3} - 48{x^2} - 26}}{{{{(6x - 8)}^2}}}.$

$4)y = \frac{{4\ln x + 1}}{{2\sqrt x }}.$

Здесь u=2lnx+1, v=2√x. Значит, производная частного равна

$y' = \frac{{(4\ln x + 1)' \cdot 2\sqrt x - (2\sqrt x )' \cdot (4\ln x + 1)}}{{{{(2\sqrt x )}^2}}} =$

$= \frac{{4 \cdot \frac{1}{x} \cdot 2\sqrt x - 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }} \cdot (4\ln x + 1)}}{{4x}} =$

$= \frac{{\frac{8}{{\sqrt x }} - \frac{{4\ln x + 1}}{{\sqrt x }}}}{{4x}} = \frac{{8 - (4\ln x + 1)}}{{\sqrt x }}:(4x) =$

$= \frac{{8 - 4\ln x - 1}}{{4x\sqrt x }} = \frac{{7 - 4\ln x}}{{4x\sqrt x }}.$

Примеры для самопроверки. Найти производную частного:

$1)y = \frac{{5{x^2} - 8x}}{{7 - x}};2)y = \frac{{12x - 7{x^4}}}{{1 - \cos x}}.$

Показать решение

Пока что мы рассмотрели только самые простые примеры на производную частного. В более сложных примерах числитель и знаменатель дроби могут быть сложными функциями, либо являться, в свою очередь, производными произведения и частного. Такие примеры мы обсудим чуть позже.

Производная частного

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Это интересно

Навигация по сайту

Рубрики

Свежие записи

Это интересно