Производная произведения

Производная произведения находится по формуле (uv)’=u’v+v’u. Если множители — табличные функции, взять производную достаточно просто. Конкретные примеры на производную произведения с подробным объяснением — лучший способ разобраться, как вычисляется производная произведения.

Начнем с рассмотрения несложных заданий, в которых каждый множитель — функция из таблицы производных или степенная функция. В таких примерах перемножаются две функции. Все, что стоит до знака умножения — это u, все, что после — v. Остается записать формулу, найти каждую производную, и упростить. Правда, знак умножения в записи функции присутствует не всегда. Знак умножения перед скобкой и перед буквой обычно не пишут. Таким образом, если нам нужно найти производную некоторой функции, сначала определяем — а не произведение ли функций это? Если один из множителей — число, то производную находят по правилу: число выносится за знак производной: (Cu)’=Cu’. Например, (10x³)’=10·3x²=30x², или (4cosx)’=4·(-sinx)=-4sinx. А если оба множителя — функции, вот тогда это — производная произведения.

Итак, примеры. Найти производную произведения функций:

1) y=3x²·2sinx.

Все, что стоит до знака умножения — это u, значит, здесь u=3x². Все, что стоит после знака умножения — это v, соответственно, v=2sinx. Теперь действуем по правилу (uv)’=u’v+v’u: y’=(3x²·2sinx)’=( 3x²)’·2sinx+(2sinx)’·3x²=3·2x·2sinx+2·cosx·3x²=12x·sinx+6x²·cosx=

а так как знак умножения перед буквой и перед скобкой обычно не пишут, то получаем:

=12xsinx+6x²cosx

Следующий момент. Производная — это инструмент для исследования функции. Чтобы понять, как ведет себя функция, нужны x, в которых она обращается в нуль. Поэтому принято выносить общий множитель, если он есть, за знак производной (чтобы потом легче было приравнивать к нулю). Впрочем, это не обязательно. Вынести общий множитель можно уже на этапе нахождения нулей производной. Но если преподаватель требует, чтобы решение было оформлено именно таким образом, то тогда делаем еще один шаг:

=6x(2sinx+3xcosx).

2) y=7cosx(5x³-4x+8).

Здесь перед скобкой знак умножения не стоит, но подразумевается. Соответственно, u=7cosx, v=5x³-4x+8. Теперь находим производную произведения по правилу:

y’=(7cosx)'(5x³-4x+8)+(5x³-4x+8)’·7cosx=

v=5x³-4x+8. Это — сумма функций. Как находить производную суммы и разности, мы уже знаем.

=7·(-sinx)(5x³-4x+8)+(5·3x²-4)·7cosx=-7sinx(5x³-4x+8)+7(5·3x²-4)cosx. Здесь есть общий множитель 7, но смысла выносить его за скобки нет.

    \[3)y = 4\sqrt x (6{x^{11}} + 2\ln x).\]

Опять таки, знак умножения не стоит, но подразумевается. Определяем u и v и находим производную произведения:

    \[u = 4\sqrt x ,v = 6{x^{11}} + 2\ln x,\]

    \[y' = (4\sqrt x )' \cdot (6{x^{11}} + 2\ln x) + (6{x^{11}} + 2\ln x)' \cdot 4\sqrt x  = \]

    \[ = 4 \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }} \cdot (6{x^{11}} + 2\ln x) + (6 \cdot 11{x^{10 - 1}} + 2 \cdot \frac{1}{x}) \cdot 4\sqrt x  = \]

    \[ = \frac{{2(6{x^{11}} + 2\ln x)}}{{\sqrt x }} + (66{x^{10}} + \frac{2}{x}) \cdot 4\sqrt x  = \]

    \[ = \frac{{12{x^{11}} + 4\ln x}}{{\sqrt x }} + 264{x^{10}}\sqrt x  + \frac{8}{{\sqrt x }} = \]

Приводим дроби к общему знаменателю

    \[ = \frac{{12{x^{11}} + 4\ln x + 264{x^{11}} + 8}}{{\sqrt x }} = \frac{{276{x^{11}} + 4\ln x + 8}}{{\sqrt x }}.\]

    \[4)y = ctgx(4{x^7} - {2^x})\]

Определяем u и v, далее — производная произведения:

    \[u = ctgx,v = 4{x^7} - {2^x}\]

    \[y' = (ctgx)'(4{x^7} - {2^x}) + (4{x^7} - {2^x})'ctgx = \]

    \[ =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \cdot (4{x^7} - {2^x}) + (4 \cdot 7{x^6} + {2^x} \cdot \ln 2)ctgx = \]

    \[ =  - \frac{{4{x^7} - {2^x}}}{{{{\sin }^2}x}} + (28{x^6} + {2^x}\ln 2)ctgx.\]

Примеры для самопроверки. Найти производную произведения:

    \[1)y = (5x + 7)(3{x^4} - 11x + 9);2)y = 10{x^2}(2\sin x + 5\cos x).\]

Показать решение

В более сложных примерах с производной произведения каждый множитель, в свою очередь, может быть сложной функцией, или произведением функций, или частным функций. Такие примеры мы рассмотрим чуть позже.

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *