Производная произведения

Производная произведения находится по формуле (uv)’=u’v+v’u. Если множители — табличные функции, взять производную достаточно просто. Конкретные примеры на производную произведения с подробным объяснением — лучший способ разобраться, как вычисляется производная произведения.

Начнем с рассмотрения несложных заданий, в которых каждый множитель — функция из таблицы производных или степенная функция. В таких примерах перемножаются две функции. Все, что стоит до знака умножения — это u, все, что после — v. Остается записать формулу, найти каждую производную, и упростить. Правда, знак умножения в записи функции присутствует не всегда. Знак умножения перед скобкой и перед буквой обычно не пишут. Таким образом, если нам нужно найти производную некоторой функции, сначала определяем — а не произведение ли функций это? Если один из множителей — число, то производную находят по правилу: число выносится за знак производной: (Cu)’=Cu’. Например, (10x³)’=10·3x²=30x², или (4cosx)’=4·(-sinx)=-4sinx. А если оба множителя — функции, вот тогда это — производная произведения.

Итак, примеры. Найти производную произведения функций:

1) y=3x²·2sinx.

Все, что стоит до знака умножения — это u, значит, здесь u=3x². Все, что стоит после знака умножения — это v, соответственно, v=2sinx. Теперь действуем по правилу (uv)’=u’v+v’u: y’=(3x²·2sinx)’=( 3x²)’·2sinx+(2sinx)’·3x²=3·2x·2sinx+2·cosx·3x²=12x·sinx+6x²·cosx=

а так как знак умножения перед буквой и перед скобкой обычно не пишут, то получаем:

=12xsinx+6x²cosx

Следующий момент. Производная — это инструмент для исследования функции. Чтобы понять, как ведет себя функция, нужны x, в которых она обращается в нуль. Поэтому принято выносить общий множитель, если он есть, за знак производной (чтобы потом легче было приравнивать к нулю). Впрочем, это не обязательно. Вынести общий множитель можно уже на этапе нахождения нулей производной. Но если преподаватель требует, чтобы решение было оформлено именно таким образом, то тогда делаем еще один шаг:

=6x(2sinx+3xcosx).

2) y=7cosx(5x³-4x+8).

Здесь перед скобкой знак умножения не стоит, но подразумевается. Соответственно, u=7cosx, v=5x³-4x+8. Теперь находим производную произведения по правилу:

y’=(7cosx)'(5x³-4x+8)+(5x³-4x+8)’·7cosx=

v=5x³-4x+8. Это — сумма функций. Как находить производную суммы и разности, мы уже знаем.

=7·(-sinx)(5x³-4x+8)+(5·3x²-4)·7cosx=-7sinx(5x³-4x+8)+7(5·3x²-4)cosx. Здесь есть общий множитель 7, но смысла выносить его за скобки нет.

$3)y = 4\sqrt x (6{x^{11}} + 2\ln x).$

Опять таки, знак умножения не стоит, но подразумевается. Определяем u и v и находим производную произведения:

$u = 4\sqrt x ,v = 6{x^{11}} + 2\ln x,$

$y' = (4\sqrt x )' \cdot (6{x^{11}} + 2\ln x) + (6{x^{11}} + 2\ln x)' \cdot 4\sqrt x =$

$= 4 \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }} \cdot (6{x^{11}} + 2\ln x) + (6 \cdot 11{x^{10 - 1}} + 2 \cdot \frac{1}{x}) \cdot 4\sqrt x =$

$= \frac{{2(6{x^{11}} + 2\ln x)}}{{\sqrt x }} + (66{x^{10}} + \frac{2}{x}) \cdot 4\sqrt x =$

$= \frac{{12{x^{11}} + 4\ln x}}{{\sqrt x }} + 264{x^{10}}\sqrt x + \frac{8}{{\sqrt x }} =$

Приводим дроби к общему знаменателю

$= \frac{{12{x^{11}} + 4\ln x + 264{x^{11}} + 8}}{{\sqrt x }} = \frac{{276{x^{11}} + 4\ln x + 8}}{{\sqrt x }}.$

$4)y = ctgx(4{x^7} - {2^x})$

Определяем u и v, далее — производная произведения:

$u = ctgx,v = 4{x^7} - {2^x}$

$y' = (ctgx)'(4{x^7} - {2^x}) + (4{x^7} - {2^x})'ctgx =$

$= - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \cdot (4{x^7} - {2^x}) + (4 \cdot 7{x^6} + {2^x} \cdot \ln 2)ctgx =$

$= - \frac{{4{x^7} - {2^x}}}{{{{\sin }^2}x}} + (28{x^6} + {2^x}\ln 2)ctgx.$

Примеры для самопроверки. Найти производную произведения:

$1)y = (5x + 7)(3{x^4} - 11x + 9);2)y = 10{x^2}(2\sin x + 5\cos x).$

Показать решение

В более сложных примерах с производной произведения каждый множитель, в свою очередь, может быть сложной функцией, или произведением функций, или частным функций. Такие примеры мы рассмотрим чуть позже.

Производная произведения

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Это интересно

Навигация по сайту

Рубрики

Свежие записи

Это интересно