Показательно-степенная функция

Показательно-степенная функция (точнее, сложно-показательная функция) — это функция вида

$y = {\left[ {f(x)} \right]^{g(x)}}$

то есть функция, в которой переменная содержится и в основании степени, и в ее показателе. Примеры показательно степенных функций:

$y = {x^x};y = {(\sin x)^{\cos x}};y = {(4x + 7)^{3x}};y = {(2x)^{\sqrt x }}.$

Чтобы найти производную показательно-степенной функции, нужно прологарифмировать обе части формулы, задающей функцию, по одинаковому основанию (как правило, логарифмируют по основанию e, потому что производная натурального логарифма — самая простая из всех производных логарифмов). Затем берут производную от обеих частей полученного равенства. Такая производная от логарифма функции называется логарифмической производной.

Рассмотрим поэтапно схему нахождения производной показательно-степенной функции с помощью логарифмической производной. Для упрощения записи обозначим f(x)=u, g(x)=v, тогда показательно-степенная функция принимает вид

$y = {u^v}.$

Наша задача — найти производную этой функции.

Схема нахождения производной показательно-степенной функции:

1. Логарифмируем обе части равенства по основанию e:

$\ln y = \ln {u^v}$

Поскольку степень можно вынести за знак логарифма, имеем:

$\ln y = v\ln u.$

2. Дифференцируем обе части равенства. При этом помним, что y зависит x, и u зависит от x, то есть lny и lnu — сложные функции. А значит, их производные равны произведению производных внешней функции — логарифма (f=lnu) и внутренней функции (u=y или u=u). В правой части стоит произведение двух функций, то есть надо применить правило дифференцирования произведения:

$(\ln y)' = (v \cdot \ln u)'$