Производная показательно-степенной функции.Примеры.

Мы рассмотрели общую схему нахождения производной показательно-степенной функции. Производная показательно-степенной функции вычисляется достаточно легко. Рассмотрим конкретные примеры.

Найти производную показательно-степенной функции:

 

    \[1)y = {x^{\sin x}}\]

Это показательно-степенная функция, поскольку и основание, и показатель степени содержат переменную x.

Действуем по схеме: сначала логарифмируем обе части по основанию e:

    \[\ln y = \ln {x^{\sin x}}\]

Показатель степени выносим за знак логарифма:

    \[\ln y = \sin x \cdot \ln x\]

Теперь дифференцируем обе части равенства, с учетом того, что y=y(x), а значит, lny — сложная функция:

    \[(\ln y)' = (\sin x \cdot \ln x)'\]

    \[\frac{1}{y} \cdot y' = (\sin x)' \cdot \ln x + (\ln x)' \cdot \sin x\]

    \[\frac{1}{y} \cdot y' = \cos x \cdot \ln x + \frac{1}{x} \cdot \sin x\]

Обе части равенства умножаем на y:

    \[y' = (\cos x \cdot \ln x + \frac{{\sin x}}{x}) \cdot y\]

Вспоминаем, что по условию y — это x  в степени sinx, и подставляем это выражение вместо y:

    \[y' = (\cos x \cdot \ln x + \frac{{\sin x}}{x}) \cdot {x^{\sin x}}.\]

    \[2)y = {(2x + 3)^{10x - 1}}.\]

Действуем по схеме:

    \[\ln y = \ln {(2x + 3)^{10x - 1}}\]

    \[\ln y = (10x - 1) \cdot \ln (2x + 3)\]

    \[(\ln y)' = ((10x - 1) \cdot \ln (2x + 3))'\]

    \[\frac{1}{y} \cdot y' = (10x - 1)' \cdot \ln (2x + 3) + (\ln (2x + 3))' \cdot (10x - 1)\]

Здесь ln(2x+3) — сложная функция, внешняя функция f=lnu. внутренняя u=2x+3:

    \[\frac{1}{y} \cdot y' = 10 \cdot \ln (2x + 3) + \frac{2}{{2x + 3}} \cdot (10x - 1)\]

Умножаем обе части равенства на y:

    \[y' = (10\ln (2x + 3) + \frac{{20x - 2}}{{2x + 3}}) \cdot y\]

Теперь подставляем в  вместо y его выражение из условия:

    \[y' = (10\ln (2x + 3) + \frac{{20x - 2}}{{2x + 3}}) \cdot {(2x + 3)^{10x - 1}}.\]

    \[3)y = {x^{\sqrt {7 - x} }}.\]

Логарифмируем обе части по основанию e:

    \[\ln y = \ln {x^{\sqrt {7 - x} }}\]

Показатель степени выносим за знак логарифма:

    \[\ln y = \sqrt {7 - x}  \cdot \ln x\]

Теперь дифференцируем обе части равенства:

    \[(\ln y)' = (\sqrt {7 - x}  \cdot \ln x)'\]

    \[\frac{1}{y} \cdot y' = (\sqrt {7 - x} )' \cdot \ln x + (\ln x)' \cdot \sqrt {7 - x} \]

√(7-x) сложная функция, внешняя функция f=√u, внутренняя u=7-x:

    \[\frac{1}{y} \cdot y' = \frac{1}{{2\sqrt {7 - x} }} \cdot (7 - x)' \cdot \ln x + \frac{1}{x} \cdot \sqrt {7 - x} \]

    \[\frac{1}{y} \cdot y' =  - \frac{{\ln x}}{{2\sqrt {7 - x} }} + \frac{{\sqrt {7 - x} }}{x}\]

Теперь обе части умножаем на y:

    \[y' = ( - \frac{{\ln x}}{{2\sqrt {7 - x} }} + \frac{{\sqrt {7 - x} }}{x}) \cdot y\]

И в заверщении, заменяем y на соответствующее выражение из условия: 

    \[y' = ( - \frac{{\ln x}}{{2\sqrt {7 - x} }} + \frac{{\sqrt {7 - x} }}{x}) \cdot {x^{\sqrt {7 - x} }}.\]

Примеры для самопроверки: найти производную показательно-степенной функции:

    \[1)y = {(\sin x)^{tgx}};\]

    \[2)y = {(\arcsin x)^{\sqrt x }};\]

    \[3)y = {x^x}.\]

Показать решение

2 Comments

  1. Армен:

    Здравствуйте! Ваш сайт очень помогает мне в понимании логарифмирования и дифференцирования сложных функций.
    В ходе решения доп. заданий [1), 2), 3)], которые даны после детального объяснения примеров, я увидел ошибку в конце одной из них: это — задание №2: (arcsinx)^(x^(1/2)). Ошибка в виде лишнего «y» под последним выражением: «И заменяем y на выражение из условия: «.

    Спасибо!

  2. admin:

    Армен, спасибо за замечание! Исправила :)
    Успехов Вам в учебе!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>