Производная показательно-степенной функции.Примеры.

Мы рассмотрели общую схему нахождения производной показательно-степенной функции. Производная показательно-степенной функции вычисляется достаточно легко. Рассмотрим конкретные примеры.

Найти производную показательно-степенной функции:

$1)y = {x^{\sin x}}$

Это показательно-степенная функция, поскольку и основание, и показатель степени содержат переменную x.

Действуем по схеме: сначала логарифмируем обе части по основанию e:

$\ln y = \ln {x^{\sin x}}$

Показатель степени выносим за знак логарифма:

$\ln y = \sin x \cdot \ln x$

Теперь дифференцируем обе части равенства, с учетом того, что y=y(x), а значит, lny — сложная функция:

$(\ln y)' = (\sin x \cdot \ln x)'$

$\frac{1}{y} \cdot y' = (\sin x)' \cdot \ln x + (\ln x)' \cdot \sin x$

$\frac{1}{y} \cdot y' = \cos x \cdot \ln x + \frac{1}{x} \cdot \sin x$

Обе части равенства умножаем на y:

$y' = (\cos x \cdot \ln x + \frac{{\sin x}}{x}) \cdot y$

Вспоминаем, что по условию y — это x в степени sinx, и подставляем это выражение вместо y:

$y' = (\cos x \cdot \ln x + \frac{{\sin x}}{x}) \cdot {x^{\sin x}}.$

$2)y = {(2x + 3)^{10x - 1}}.$

Действуем по схеме:

$\ln y = \ln {(2x + 3)^{10x - 1}}$

$\ln y = (10x - 1) \cdot \ln (2x + 3)$

$(\ln y)' = ((10x - 1) \cdot \ln (2x + 3))'$

$\frac{1}{y} \cdot y' = (10x - 1)' \cdot \ln (2x + 3) + (\ln (2x + 3))' \cdot (10x - 1)$

Здесь ln(2x+3) — сложная функция, внешняя функция f=lnu. внутренняя u=2x+3:

$\frac{1}{y} \cdot y' = 10 \cdot \ln (2x + 3) + \frac{2}{{2x + 3}} \cdot (10x - 1)$

Умножаем обе части равенства на y:

$y' = (10\ln (2x + 3) + \frac{{20x - 2}}{{2x + 3}}) \cdot y$

Теперь подставляем в вместо y его выражение из условия:

$y' = (10\ln (2x + 3) + \frac{{20x - 2}}{{2x + 3}}) \cdot {(2x + 3)^{10x - 1}}.$

$3)y = {x^{\sqrt {7 - x} }}.$

Логарифмируем обе части по основанию e:

$\ln y = \ln {x^{\sqrt {7 - x} }}$

Показатель степени выносим за знак логарифма:

$\ln y = \sqrt {7 - x} \cdot \ln x$

Теперь дифференцируем обе части равенства:

$(\ln y)' = (\sqrt {7 - x} \cdot \ln x)'$

$\frac{1}{y} \cdot y' = (\sqrt {7 - x} )' \cdot \ln x + (\ln x)' \cdot \sqrt {7 - x}$

√(7-x) сложная функция, внешняя функция f=√u, внутренняя u=7-x:

$\frac{1}{y} \cdot y' = \frac{1}{{2\sqrt {7 - x} }} \cdot (7 - x)' \cdot \ln x + \frac{1}{x} \cdot \sqrt {7 - x}$

$\frac{1}{y} \cdot y' = - \frac{{\ln x}}{{2\sqrt {7 - x} }} + \frac{{\sqrt {7 - x} }}{x}$

Теперь обе части умножаем на y:

$y' = ( - \frac{{\ln x}}{{2\sqrt {7 - x} }} + \frac{{\sqrt {7 - x} }}{x}) \cdot y$

И в заверщении, заменяем y на соответствующее выражение из условия:

$y' = ( - \frac{{\ln x}}{{2\sqrt {7 - x} }} + \frac{{\sqrt {7 - x} }}{x}) \cdot {x^{\sqrt {7 - x} }}.$

Примеры для самопроверки: найти производную показательно-степенной функции:

$1)y = {(\sin x)^{tgx}};$

$2)y = {(\arcsin x)^{\sqrt x }};$

$3)y = {x^x}.$

Показать решение

2 Comments

Армен:

16.04.2013 в 6:43 пп

Здравствуйте! Ваш сайт очень помогает мне в понимании логарифмирования и дифференцирования сложных функций.
В ходе решения доп. заданий [1), 2), 3)], которые даны после детального объяснения примеров, я увидел ошибку в конце одной из них: это — задание №2: (arcsinx)^(x^(1/2)). Ошибка в виде лишнего «y» под последним выражением: «И заменяем y на выражение из условия: «.

Спасибо!

Ответить
admin:

20.04.2013 в 2:10 пп

Армен, спасибо за замечание! Исправила 🙂
Успехов Вам в учебе!

Ответить

Добавить комментарий для Армен Отменить ответ