Примеры нахождения производной сложной функции

Рассмотрим еще некоторые примеры нахождения производной сложной функции.

    \[1)y = {(\frac{1}{4}{x^6} + 8\sqrt[3]{{{x^6}}} - 1)^3};\]

    \[2)y = \ln \sqrt[4]{{\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}}}};\]

    \[3)y = \arccos \sqrt {x + 1} ;\]

    \[4)y = {3^{\cos x}} - x \cdot \sin 2x.\]

Решение:

Там, где возможно, перед дифференцированием примеры упрощаем:

    \[1)y = {(\frac{1}{4}{x^6} + 8\sqrt[3]{{{x^6}}} - 1)^3} = {(\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^{\frac{6}{3}}} - 1)^3} = \]

    \[ = {(\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^2} - 1)^3}.\]

Данная функция — сложная. Внешняя функция f=u³, внутренняя — выражение, стоящее в скобках. Дифференцируем по правилу дифференцирования сложной функции:  Имеем:

    \[y' = 3 \cdot {(\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^2} - 1)^2} \cdot (\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^2} - 1)' = \]

    \[ = 3 \cdot {(\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^2} - 1)^2} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 6{x^5} + 8 \cdot 2x - 0) = \]

    \[ = 3 \cdot {(\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^2} - 1)^2} \cdot (\frac{3}{2}{x^5} + 16x).\]

2) При нахождении производных логарифмов во многих случаях возможно предварительное преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, что позволяет существенно облегчить дифференцирование:

    \[2)y = \ln \sqrt[4]{{\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}}}} = \ln {(\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}})^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4}\ln (\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}}).\]

Здесь внешняя функция — ln u, внутренняя — выражение, стоящее под знаком логарифма. Внутренняя функция представляет собой дробь, поэтому для ее дифференцирования применяем правило нахождения производной частного

    \[y' = (\frac{1}{4}\ln (\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}}))' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}}}} \cdot (\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}})' = \]

    \[ = \frac{{{x^2} + 1}}{{4(4x - 1)}} \cdot \frac{{(4x - 1)' \cdot ({x^2} + 1) - ({x^2} + 1)' \cdot (4x - 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} = \]

    \[ = \frac{{{x^2} + 1}}{{4(4x - 1)}} \cdot \frac{{4 \cdot ({x^2} + 1) - 2x \cdot (4x - 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} = \]

    \[ = \frac{{({x^2} + 1) \cdot 2(2 \cdot ({x^2} + 1) - x \cdot (4x - 1))}}{{4(4x - 1){{({x^2} + 1)}^2}}} = \]

Сокращаем числитель и знаменатель на (х²+1) и 2:

    \[ = \frac{{2 \cdot ({x^2} + 1) - x \cdot (4x - 1)}}{{2(4x - 1)({x^2} + 1)}} = \]

    \[ = \frac{{2{x^2} + 2 - 4{x^2} - x}}{{2(4x - 1)({x^2} + 1)}} = \frac{{ - 2{x^2} - x + 2}}{{2(4x - 1)({x^2} + 1)}}.\]

3) Здесь внешняя функция — f=arccos u, u — выражение с квадратным к0рнем. Дифференцируем:

    \[y' = (\arccos \sqrt {x + 1} )' =  - \frac{1}{{\sqrt {1 - {{(\sqrt {x + 1} )}^2}} }} \cdot (\sqrt {x + 1} )' = \]

    \[ =  - \frac{1}{{\sqrt {1 - (x + 1)} }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} \cdot (x + 1)' = \]

    \[ =  - \frac{1}{{\sqrt {1 - x - 1} }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} \cdot 1 = \]

    \[ =  - \frac{1}{{\sqrt { - x} }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} =  - \frac{1}{{2\sqrt { - {x^2} - x} }}.\]

4) Первое слагаемое — сложная показательная функция 3 в степени u, u=cos x.

    \[y' = ({3^{\cos x}} - x \cdot \sin 2x)' = \]

Второе слагаемое дифференцируем по правилу нахождения производной произведения:

    \[ = {3^{\cos x}} \cdot \ln 3 \cdot (\cos x)' - (x' \cdot \sin 2x + (\sin 2x)' \cdot x) = \]

    \[ = {3^{\cos x}} \cdot \ln 3 \cdot ( - \sin x) - (1 \cdot \sin 2x + \cos 2x \cdot (2x)' \cdot x) = \]

    \[ =  - {3^{\cos x}} \cdot \ln 3 \cdot \sin x - (\sin 2x + \cos 2x \cdot 2 \cdot x) = \]

    \[ =  - {3^{\cos x}} \cdot \ln 3 \cdot \sin x - (\sin 2x + 2x\cos 2x).\]

2 Comments

  1. Анжела:

    Спасибо Вам огромное! Я очень рада что наткнулась на Ваш сайт) Вы очень замечательный человек!

    1. admin:

      Успехов Вам в учебе, Анжела!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>