Как разложить дробь на простейшие дроби

Рассмотрим, как разложить правильную рациональную дробь вида 

    \[\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\]

на простейшие дроби.

 

Здесь P(x) и Q(x) — целые многочлены, причем степень числителя P(x) меньше степени знаменателя Q(x).

I. Если

    \[Q(x) = {(x - a)^\alpha }...{(x - k)^\lambda },\]

где a, … , k — различные действительные корни многочлена Q(x), а α, …, λ — кратности этих корней, то, чтобы разложить дробь на простейшие дроби, ее надо переписать в виде

    \[\frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \frac{{{A_1}}}{{x - a}} + \frac{{{A_2}}}{{{{(x - a)}^2}}} + ... + \frac{{{A_\alpha }}}{{{{(x - a)}^\alpha }}} + \]

    \[ + \frac{{{K_1}}}{{x - k}} + \frac{{{K_2}}}{{{{(x - k)}^2}}} + ... + \frac{{{K_\lambda }}}{{{{(x - k)}^\lambda }}}.\]

Неопределенные коэффициенты

    \[{A_1},{A_2},...{K_\lambda }\]

можно найти одним из трех способов:

1) подставляя специальные значения x;

2) приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x;

3) комбинируя оба способа.

II. Если у многочлена Q(x) есть комплексные корни a±bi кратности l, то в разложение дополнительно войдут слагаемые вида

    \[\frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{x^2} + px + q}} + ... + \frac{{{M_l}x + {N_l}}}{{{{({x^2} + px + q)}^l}}},\]

где

    \[{x^2} + px + q = (x - (a + bi))(x - (a - bi)).\]

Теперь перейдем к рассмотрению примеров разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>