Как разложить дробь на простейшие дроби

Рассмотрим, как разложить правильную рациональную дробь вида

$\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$

на простейшие дроби.

Здесь P(x) и Q(x) — целые многочлены, причем степень числителя P(x) меньше степени знаменателя Q(x).

I. Если

$Q(x) = {(x - a)^\alpha }...{(x - k)^\lambda },$

где a, … , k — различные действительные корни многочлена Q(x), а α, …, λ — кратности этих корней, то, чтобы разложить дробь на простейшие дроби, ее надо переписать в виде

$\frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \frac{{{A_1}}}{{x - a}} + \frac{{{A_2}}}{{{{(x - a)}^2}}} + ... + \frac{{{A_\alpha }}}{{{{(x - a)}^\alpha }}} +$

$+ \frac{{{K_1}}}{{x - k}} + \frac{{{K_2}}}{{{{(x - k)}^2}}} + ... + \frac{{{K_\lambda }}}{{{{(x - k)}^\lambda }}}.$

Неопределенные коэффициенты

${A_1},{A_2},...{K_\lambda }$

можно найти одним из трех способов:

1) подставляя специальные значения x;

2) приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x;

3) комбинируя оба способа.

II. Если у многочлена Q(x) есть комплексные корни a±bi кратности l, то в разложение дополнительно войдут слагаемые вида

$\frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{x^2} + px + q}} + ... + \frac{{{M_l}x + {N_l}}}{{{{({x^2} + px + q)}^l}}},$

где

${x^2} + px + q = (x - (a + bi))(x - (a - bi)).$

Теперь перейдем к рассмотрению примеров разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

Как разложить дробь на простейшие дроби

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Это интересно

Навигация по сайту

Рубрики

Свежие записи

Это интересно