Интегрировать по частям

Помимо трех «классических» вариантов, интегрировать по частям можно и в других случаях. Если интеграл не относится к какому-либо конкретному виду, есть смысл попробовать интегрировать его по частям.Рассмотрим примеры.

    \[1)\int {\cos (\ln x)dx} \]

    \[\left| \begin{array}{l}u = \cos (\ln x)\\du =  - \sin (\ln x) \cdot (\ln x)'dx = \\ =  - \frac{{\sin (\ln x)}}{x}\\dv = dx,v = x\end{array} \right|\]

    \[\int {\cos (\ln x)dx}  = x\cos (\ln x) - \int {x \cdot (}  - \frac{{\sin (\ln x)}}{x})dx = \]

    \[ = x\cos (\ln x) + \int {\sin (\ln x)} dx = \]

Попробуем проинтегрировать по частям еще раз:

    \[\left| \begin{array}{l}u = \sin (\ln x)\\du = \cos (\ln x) \cdot (\ln x)'dx = \\ = \frac{{\cos (\ln x)}}{x}\\dv = dx,v = x\end{array} \right|\]

    \[ = x\cos (\ln x) + x\sin (\ln x) - \int {x \cdot } \frac{{\cos (\ln x)}}{x}dx = \]

    \[ = x\cos (\ln x) + x\sin (\ln x) - \int {\cos (\ln x)dx} \]

Пришли к первоначальному интегралу, как в интегралах III типа. Обозначив первоначальный интеграл за I, получим уравнение

    \[I = x\cos (\ln x) + x\sin (\ln x) - I\]

Остается решить его относительно I:

    \[2I = x\cos (\ln x) + x\sin (\ln x) + 2C\]

(2C берем, чтобы после деления на 2 осталось C)

    \[I = \frac{1}{2}(x\cos (\ln x) + x\sin (\ln x) + 2C)\]

    \[\int {\cos (\ln x)dx}  = \frac{1}{2}x(\cos (\ln x) + \sin (\ln x)) + C\]

Проверка подтверждает — ответ верен.

    \[2)\int {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \]

    \[\left| \begin{array}{l}u = {x^2},du = 2xdx\\dv = \frac{{xdx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\v = \int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{1}{2}\int {\frac{{2xdx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = } } \\ = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt {1 + {x^2}}  = \sqrt {1 + {x^2}} \end{array} \right|\]

v ищем с помощью замены переменной:

    \[\int {\frac{{2xdx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = } \left| \begin{array}{l}1 + {x^2} = t\\dt = 2xdx\end{array} \right| = \int {\frac{{dt}}{{\sqrt t }}}  = 2\sqrt t  = 2\sqrt {1 + {x^2}} \]

    \[\int {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}  = {x^2}\sqrt {1 + {x^2}}  - 2\int {x \cdot } \sqrt {1 + {x^2}} dx = \]

Второй интеграл найдем с помощью такой же замены переменной:

    \[\int x \sqrt {1 + {x^2}} dx = \frac{1}{2}\int {2x} \sqrt {1 + {x^2}} dx = \left| \begin{array}{l}1 + {x^2} = t\\dt = 2xdx\end{array} \right| = \]

    \[ = \frac{1}{2}\int {\sqrt t } dt = \frac{1}{2}\int {{t^{\frac{1}{2}}}} dt = \frac{1}{2}\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}\sqrt {{t^3}}  = \frac{1}{3}\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} \]

    \[\int {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}  = {x^2}\sqrt {1 + {x^2}}  - \frac{2}{3}\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}}  + C.\]

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>