Примеры интегрирования по частям

Дополним примеры на интегрирование по частям еще одним видом. Интегралы от произведения экспоненты и косинуса или синуса вида

$\int {{e^{ax}}} \sin bxdx$

$\int {{e^{ax}}} \cos bxdx$

находятся двукратным интегрированием по частям.В качестве v и u можно брать как синус или косинус, так и экспоненту.

Например,

$1)I = \int {{e^{ax}}} \sin bxdx = \left| \begin{array}{l}u = {e^{ax}},\\du = ({e^{ax}})'dx = a{e^{ax}}dx\\dv = \sin bxdx\\v = \int {\sin bxdx = - \frac{1}{b}\cos bx} \end{array} \right| =$

По формуле интегрирования по частям:

$\int {udv = uv - \int {vdu} }$

имеем:

$= {e^{ax}} \cdot ( - \frac{1}{b}\cos bx) - \int {a{e^{ax}}( - \frac{1}{b}\cos bx)dx} =$

$= - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{b}\int {{e^{ax}}\cos bxdx} =$

$= \left| \begin{array}{l}u = {e^{ax}},\\du = a{e^{ax}}dx\\dv = \cos bxdx\\v = \int {\cos bxdx = \frac{1}{b}\sin bx} \end{array} \right| =$

$= - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{b}({e^{ax}} \cdot \frac{1}{b}\sin bx - \int {a{e^{ax}} \cdot \frac{1}{b}\sin bxdx} ) =$

$= - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{{{b^2}}}{e^{ax}}\sin bx - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\int {{e^{ax}}\sin bxdx}$

Последний интеграл — тот самый, который мы ищем, то есть I. Решим уравнение относительно I. Перенесем его в левую часть и упростим:

$\int {{e^{ax}}} \sin bxdx + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\int {{e^{ax}}\sin bxdx} = I + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}I = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2}}}I$

$\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2}}}I = - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{{{b^2}}}{e^{ax}}\sin bx$

Обе части уравнения поделим на

$\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2}}}$

В результате получили

$I = ( - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{{{b^2}}}{e^{ax}}\sin bx) \cdot \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + C$

$I = - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}{e^{ax}}\sin bx + C$

$I = \frac{{{e^{ax}}}}{{{a^2} + {b^2}}}(a\sin bx - b\cos bx) + C.$

$2)\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx =$

$= \left| \begin{array}{l}u = {e^{2x}},\\du = ({e^{2x}})'dx = 2{e^{2x}}dx\\dv = \cos 3xdx,\\v = \int {\cos 3xdx = } \frac{1}{3}\sin 3x\end{array} \right| =$

По формуле интегрирования по частям:

$= {e^{2x}} \cdot \frac{1}{3}\sin 3x - \int {2{e^{2x}} \cdot } \frac{1}{3}\sin 3xdx =$

$= \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}\int {{e^{2x}}} \sin 3xdx =$

$= \left| \begin{array}{l}u = {e^{2x}},du = 2{e^{2x}}dx\\dv = \sin 3xdx\\v = \int {\sin 3xdx = - \frac{1}{3}\cos 3x} \end{array} \right| =$

$= \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}({e^{2x}} \cdot ( - \frac{1}{3}\cos 3x) + \frac{2}{3}\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx) =$

$= \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x + \frac{2}{9}{e^{2x}}\cos 3x - \frac{4}{9}\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx$

Последний интеграл — тот самый, который мы ищем. Переносим его в левую часть:

$\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx + \frac{4}{9}\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx =$

$= \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x + \frac{2}{9}{e^{2x}}\cos 3x + C$

$\frac{{13}}{9}\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx = \frac{1}{9}{e^{2x}}(3\sin 3x + 2\cos 3x) + C$

$\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx = \frac{1}{{13}}{e^{2x}}(3\sin 3x + 2\cos 3x) + C.$

Выполним проверку:

$(\frac{1}{{13}}{e^{2x}}(3\sin 3x + 2\cos 3x) + C)' =$

$= \frac{2}{{13}}{e^{2x}}(3\sin 3x + 2\cos 3x) + \frac{1}{{13}}{e^{2x}}(9\cos 3x - 6\sin 3x) =$

$= \frac{1}{{13}}{e^{2x}}(6\sin 3x + 4\cos 3x + 9\cos 3x - 6\sin 3x) =$

$= \frac{1}{{13}}{e^{2x}} \cdot 13\cos 3x = {e^{2x}}\cos 3x.$

По этой же схеме ищут интегралы от произведения показательной функции и синуса или косинуса вида

$\int {{a^{kx}}} \sin bxdx$

$\int {{a^{kx}}} \cos bxdx$

Например,

$3)\int {{3^{11x}}} \cos 2xdx =$

$= \left| \begin{array}{l}u = {3^{11x}},\\du = ({3^{11x}})'dx = 11 \cdot \ln 3 \cdot {3^{11x}}dx\\dv = \cos 2xdx,\\v = \int {\cos 2xdx = } \frac{1}{2}\sin 2x\end{array} \right| =$

$= {3^{11x}} \cdot \frac{1}{2}\sin 2x - \int {11 \cdot \ln 3 \cdot {3^{11x}} \cdot } \frac{1}{2}\sin 2xdx =$

$= \frac{{{3^{11x}}}}{2}\sin 2x - \frac{{11 \cdot \ln 3}}{2}\int {{3^{11x}}} \sin 2xdx =$

$= \left| \begin{array}{l}u = {3^{11x}},du = 11 \cdot \ln 3 \cdot {3^{11x}}dx\\dv = \sin 2xdx\\v = \int {\sin 2xdx = - \frac{1}{2}\cos 2x} \end{array} \right| =$