Примеры интегрирования по частям

Дополним примеры на интегрирование по частям еще одним видом. Интегралы от произведения экспоненты и косинуса или синуса вида

    \[\int {{e^{ax}}} \sin bxdx\]

    \[\int {{e^{ax}}} \cos bxdx\]

находятся двукратным интегрированием по частям.В качестве v и u можно брать как синус или косинус, так и экспоненту.

Например,

    \[1)I = \int {{e^{ax}}} \sin bxdx = \left| \begin{array}{l}u = {e^{ax}},\\du = ({e^{ax}})'dx = a{e^{ax}}dx\\dv = \sin bxdx\\v = \int {\sin bxdx =  - \frac{1}{b}\cos bx} \end{array} \right| = \]

По формуле интегрирования по частям:

    \[\int {udv = uv - \int {vdu} } \]

имеем:

    \[ = {e^{ax}} \cdot ( - \frac{1}{b}\cos bx) - \int {a{e^{ax}}( - \frac{1}{b}\cos bx)dx}  = \]

    \[ =  - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{b}\int {{e^{ax}}\cos bxdx}  = \]

    \[ = \left| \begin{array}{l}u = {e^{ax}},\\du = a{e^{ax}}dx\\dv = \cos bxdx\\v = \int {\cos bxdx = \frac{1}{b}\sin bx} \end{array} \right| = \]

    \[ =  - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{b}({e^{ax}} \cdot \frac{1}{b}\sin bx - \int {a{e^{ax}} \cdot \frac{1}{b}\sin bxdx} ) = \]

    \[ =  - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{{{b^2}}}{e^{ax}}\sin bx - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\int {{e^{ax}}\sin bxdx}  \]

Последний интеграл — тот самый, который мы ищем, то есть I. Решим уравнение относительно I. Перенесем его в левую часть и упростим:

    \[\int {{e^{ax}}} \sin bxdx + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\int {{e^{ax}}\sin bxdx}  = I + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}I = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2}}}I\]

    \[\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2}}}I =  - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{{{b^2}}}{e^{ax}}\sin bx\]

Обе части уравнения поделим на

    \[\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2}}}\]

В результате получили

    \[I = ( - \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{{{b^2}}}{e^{ax}}\sin bx) \cdot \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + C\]

    \[I =  - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}{e^{ax}}\sin bx + C\]

    \[I = \frac{{{e^{ax}}}}{{{a^2} + {b^2}}}(a\sin bx - b\cos bx) + C.\]

    \[2)\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx = \]

    \[ = \left| \begin{array}{l}u = {e^{2x}},\\du = ({e^{2x}})'dx = 2{e^{2x}}dx\\dv = \cos 3xdx,\\v = \int {\cos 3xdx = } \frac{1}{3}\sin 3x\end{array} \right| = \]

По формуле интегрирования по частям:

    \[ = {e^{2x}} \cdot \frac{1}{3}\sin 3x - \int {2{e^{2x}} \cdot } \frac{1}{3}\sin 3xdx = \]

    \[ = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}\int {{e^{2x}}} \sin 3xdx = \]

    \[ = \left| \begin{array}{l}u = {e^{2x}},du = 2{e^{2x}}dx\\dv = \sin 3xdx\\v = \int {\sin 3xdx =  - \frac{1}{3}\cos 3x} \end{array} \right| = \]

    \[ = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}({e^{2x}} \cdot ( - \frac{1}{3}\cos 3x) + \frac{2}{3}\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx) = \]

    \[ = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x + \frac{2}{9}{e^{2x}}\cos 3x - \frac{4}{9}\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx\]

Последний интеграл — тот самый, который мы ищем. Переносим его в левую часть:

    \[\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx + \frac{4}{9}\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx = \]

    \[ = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x + \frac{2}{9}{e^{2x}}\cos 3x + C\]

    \[\frac{{13}}{9}\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx = \frac{1}{9}{e^{2x}}(3\sin 3x + 2\cos 3x) + C\]

    \[\int {{e^{2x}}} \cos 3xdx = \frac{1}{{13}}{e^{2x}}(3\sin 3x + 2\cos 3x) + C.\]

Выполним проверку:

    \[(\frac{1}{{13}}{e^{2x}}(3\sin 3x + 2\cos 3x) + C)' = \]

    \[ = \frac{2}{{13}}{e^{2x}}(3\sin 3x + 2\cos 3x) + \frac{1}{{13}}{e^{2x}}(9\cos 3x - 6\sin 3x) = \]

    \[ = \frac{1}{{13}}{e^{2x}}(6\sin 3x + 4\cos 3x + 9\cos 3x - 6\sin 3x) = \]

    \[ = \frac{1}{{13}}{e^{2x}} \cdot 13\cos 3x = {e^{2x}}\cos 3x.\]

По этой же схеме ищут интегралы от произведения показательной функции и синуса или косинуса вида

    \[\int {{a^{kx}}} \sin bxdx\]

    \[\int {{a^{kx}}} \cos bxdx\]

Например,

    \[3)\int {{3^{11x}}} \cos 2xdx = \]

    \[ = \left| \begin{array}{l}u = {3^{11x}},\\du = ({3^{11x}})'dx = 11 \cdot \ln 3 \cdot {3^{11x}}dx\\dv = \cos 2xdx,\\v = \int {\cos 2xdx = } \frac{1}{2}\sin 2x\end{array} \right| = \]

    \[ = {3^{11x}} \cdot \frac{1}{2}\sin 2x - \int {11 \cdot \ln 3 \cdot {3^{11x}} \cdot } \frac{1}{2}\sin 2xdx = \]

    \[ = \frac{{{3^{11x}}}}{2}\sin 2x - \frac{{11 \cdot \ln 3}}{2}\int {{3^{11x}}} \sin 2xdx = \]

    \[ = \left| \begin{array}{l}u = {3^{11x}},du = 11 \cdot \ln 3 \cdot {3^{11x}}dx\\dv = \sin 2xdx\\v = \int {\sin 2xdx =  - \frac{1}{2}\cos 2x} \end{array} \right| = \]

    \[ = \frac{{{3^{11x}}}}{2}\sin 2x - \frac{{11 \cdot \ln 3}}{2}( - \frac{{{3^{11x}}}}{2}\cos 2x + \]

    \[ + \frac{{11 \cdot \ln 3}}{2}\int {{3^{11x}}} \cos 2xdx) = \]

    \[ = \frac{{{3^{11x}}}}{2}\sin 2x + \frac{{11 \cdot \ln 3}}{4}{3^{11x}}\cos 2x - \]

    \[ - {(\frac{{11 \cdot \ln 3}}{2})^2}\int {{3^{11x}}} \cos 2xdx\]

    \[(1 + {(\frac{{11 \cdot \ln 3}}{2})^2})\int {{3^{11x}}} \cos 2xdx = \]

    \[ = \frac{{{3^{11x}}}}{4}(2\sin 2x + 11 \cdot \ln 3 \cdot \cos 2x) + C\]

    \[ = \frac{{{3^{11x}}}}{{4 + {{(11 \cdot \ln 3)}^2}}}(2\sin 2x + 11 \cdot \ln 3 \cdot \cos 2x) + C.\]

 

 

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>