Интегрирование по частям

Следующий тип интегралов на интегрирование по частям — интеграл от произведения многочлена и синуса, косинуса или экспоненты.

II. В интегралах вида

    \[\int {P(x) \cdot {e^{kx}}} dx\]

    \[\int {P(x) \cdot \sin kxdx} \]

    \[\int {P(x) \cdot \cos kxdx} \]

где P(x) — многочлен, k — число, для формулы интегрирования по частям

    \[\int {udv = uv - \int {vdu} } \]

удобно выбирать u=P(x) (в отличие от интегралов I типа), а dv, соответственно, sinkx и т.п. Соответственно:

    \[u = P(x), \Rightarrow du = P'(x)dx\]

    \[dv = \sin kxdx, \Rightarrow v = \int {\sin kxdx =  - \frac{1}{k}} \cos kx\]

    \[dv = \cos kxdx, \Rightarrow v = \int {\cos kxdx = \frac{1}{k}} \sin kx\]

    \[dv = {e^{kx}}dx, \Rightarrow v = \int {{e^{kx}}dx = \frac{1}{k}} {e^{kx}}.\]

Рассмотрим, как реализуется интегрирование по частям в таких интегралах на конкретных примерах.

Найти интегралы:

    \[1)\int {(4 - 16x) \cdot \sin 4xdx = \left| \begin{gathered} u = 4 - 16x, \hfill \\ du = (4 - 16x)'dx =  - 16dx \hfill \\ dv = \sin 4xdx, \hfill \\ v = \int {\sin 4xdx =  - \frac{1}{4}\cos 4x}  \hfill \\ \end{gathered}  \right|}  = \]

по формуле интегрирования по частям, имеем:

    \[ = (4 - 16x) \cdot ( - \frac{1}{4}\cos 4x) - \int {( - \frac{1}{4}\cos 4x} ) \cdot ( - 16)dx = \]

    \[ = (4x - 1) \cdot \cos 4x - 4\int {\cos 4xdx = } \]

    \[ = (4x - 1) \cdot \cos 4x - 4 \cdot \frac{1}{4}\sin 4x + C = \]

    \[ = (4x - 1) \cdot \cos 4x - \sin 4x + C.\]

Проверка:

    \[((4x - 1) \cdot \cos 4x - \sin 4x + C)' = \]

    \[ = (4x - 1)' \cdot \cos 4x + (\cos 4x)' \cdot (4x - 1) - \cos 4x \cdot (4x)' = \]

    \[ = 4\cos 4x + ( - \sin 4x) \cdot (4x)' \cdot (4x - 1) - 4\cos 4x = \]

    \[ =  - (16x - 4)\sin 4x = (4 - 16x)\sin 4x.\]

    \[2)\int {(4 - 3x) \cdot {e^{ - 6x}}} dx = \left| \begin{gathered} u = 4 - 3x \hfill \\ du = (4 - 3x)'dx =  - 3dx \hfill \\ dv = {e^{ - 6x}}dx,v = \int {{e^{ - 6x}}dx = }  \hfill \\ =  - \frac{1}{6}{e^{ - 6x}} \hfill \\ \end{gathered}  \right| = \]

Подставляем полученные u и v в формулу интегрирования по частям:

    \[ =  - \frac{1}{6}{e^{ - 6x}} \cdot (4 - 3x) - \int {( - \frac{1}{6}{e^{ - 6x}}} )( - 3dx) = \]

    \[ =  - \frac{{4 - 3x}}{6}{e^{ - 6x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{ - 6x}}dx}  = \]

    \[ =  - \frac{{4 - 3x}}{6}{e^{ - 6x}} - \frac{1}{2} \cdot ( - \frac{1}{6}{e^{ - 6x}}) + C = \]

    \[ =  - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}}(8 - 6x - 1) + C = \]

    \[ =  - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}}(7 - 6x) + C.\]

Проверка:

    \[( - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}}(7 - 6x) + C)' = \]

    \[ = ( - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}})' \cdot (7 - 6x) + (7 - 6x)' \cdot ( - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}}) = \]

    \[ =  - \frac{6}{{12}}{e^{ - 6x}} \cdot (7 - 6x) + ( - 6) \cdot ( - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}}) = \]

    \[ = \frac{6}{{12}}{e^{ - 6x}} \cdot (7 - 6x + 1) = \frac{{8 - 6x}}{2}{e^{ - 6x}} = (4 - 3x){e^{ - 6x}}.\]

    \[3)\int {({x^2}}  + 1) \cdot \sin 2xdx = \left| \begin{gathered} u = {x^2} + 1, \hfill \\ du = ({x^2} + 1)'dx = 2xdx, \hfill \\ dv = \sin 2xdx, \hfill \\ v = \int {\sin 2xdx =  - \frac{1}{2}\cos 2x}  \hfill \\ \end{gathered}  \right| = \]

По формуле интегрирования по частям имеем:

    \[ =  - \frac{1}{2}\cos 2x({x^2} + 1) - \int (  - \frac{1}{2}\cos 2x) \cdot 2xdx = \]

    \[ =  - \frac{1}{2}\cos 2x({x^2} + 1) + \int {x\cos 2xdx}  = \]

Интегрируем по частям еще раз

    \[ = \left| \begin{gathered} u = x,du = x'dx = dx \hfill \\ dv = \cos 2xdx \hfill \\ v = \int {\cos 2xdx = \frac{1}{2}\sin 2x}  \hfill \\ \end{gathered}  \right| = \]

    \[ =  - \frac{1}{2}\cos 2x({x^2} + 1) + (x \cdot \frac{1}{2}\sin 2x - \int {\frac{1}{2}\sin 2xdx) = } \]

    \[ =  - \frac{1}{2}\cos 2x({x^2} + 1) + \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C = \]

    \[ =  - \frac{{{x^2}}}{2}\cos 2x - \frac{1}{4}\cos 2x + \frac{x}{2}\sin 2x + C.\]

Проверка:

    \[( - \frac{{{x^2}}}{2}\cos 2x - \frac{1}{4}\cos 2x + \frac{x}{2}\sin 2x + C)' = \]

    \[ =  - \frac{{2x}}{2}\cos 2x - \frac{{{x^2}}}{2}( - \sin 2x) \cdot (2x)' - \frac{1}{4}( - \sin 2x)(2x)' + \]

    \[ + \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{x}{2} \cdot \cos 2x \cdot (2x)' = \]

    \[ =  - x \cdot \cos 2x + {x^2} \cdot \sin 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + \]

    \[ + x \cdot \cos 2x = {x^2} \cdot \sin 2x + \sin 2x = ({x^2} + 1) \cdot \sin 2x.\]

Примеры для самопроверки.

Используя интегрирование по частям, найти интегралы:

    \[1)\int {(3x + 5) \cdot {e^{2x}}} dx;\]

    \[2)\int {(4x - 8) \cdot \sin xdx.} \]

Показать решение

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>