Интегрирование по частям

Следующий тип интегралов на интегрирование по частям — интеграл от произведения многочлена и синуса, косинуса или экспоненты.

II. В интегралах вида

$\int {P(x) \cdot {e^{kx}}} dx$

$\int {P(x) \cdot \sin kxdx}$

$\int {P(x) \cdot \cos kxdx}$

где P(x) — многочлен, k — число, для формулы интегрирования по частям

$\int {udv = uv - \int {vdu} }$

удобно выбирать u=P(x) (в отличие от интегралов I типа), а dv, соответственно, sinkx и т.п. Соответственно:

$u = P(x), \Rightarrow du = P'(x)dx$

$dv = \sin kxdx, \Rightarrow v = \int {\sin kxdx = - \frac{1}{k}} \cos kx$

$dv = \cos kxdx, \Rightarrow v = \int {\cos kxdx = \frac{1}{k}} \sin kx$

$dv = {e^{kx}}dx, \Rightarrow v = \int {{e^{kx}}dx = \frac{1}{k}} {e^{kx}}.$

Рассмотрим, как реализуется интегрирование по частям в таких интегралах на конкретных примерах.

Найти интегралы:

$1)\int {(4 - 16x) \cdot \sin 4xdx = \left| \begin{gathered} u = 4 - 16x, \hfill \\ du = (4 - 16x)'dx = - 16dx \hfill \\ dv = \sin 4xdx, \hfill \\ v = \int {\sin 4xdx = - \frac{1}{4}\cos 4x} \hfill \\ \end{gathered} \right|} =$

по формуле интегрирования по частям, имеем:

$= (4 - 16x) \cdot ( - \frac{1}{4}\cos 4x) - \int {( - \frac{1}{4}\cos 4x} ) \cdot ( - 16)dx =$

$= (4x - 1) \cdot \cos 4x - 4\int {\cos 4xdx = }$

$= (4x - 1) \cdot \cos 4x - 4 \cdot \frac{1}{4}\sin 4x + C =$

$= (4x - 1) \cdot \cos 4x - \sin 4x + C.$

Проверка:

$((4x - 1) \cdot \cos 4x - \sin 4x + C)' =$

$= (4x - 1)' \cdot \cos 4x + (\cos 4x)' \cdot (4x - 1) - \cos 4x \cdot (4x)' =$

$= 4\cos 4x + ( - \sin 4x) \cdot (4x)' \cdot (4x - 1) - 4\cos 4x =$

$= - (16x - 4)\sin 4x = (4 - 16x)\sin 4x.$

$2)\int {(4 - 3x) \cdot {e^{ - 6x}}} dx = \left| \begin{gathered} u = 4 - 3x \hfill \\ du = (4 - 3x)'dx = - 3dx \hfill \\ dv = {e^{ - 6x}}dx,v = \int {{e^{ - 6x}}dx = } \hfill \\ = - \frac{1}{6}{e^{ - 6x}} \hfill \\ \end{gathered} \right| =$

Подставляем полученные u и v в формулу интегрирования по частям:

$= - \frac{1}{6}{e^{ - 6x}} \cdot (4 - 3x) - \int {( - \frac{1}{6}{e^{ - 6x}}} )( - 3dx) =$

$= - \frac{{4 - 3x}}{6}{e^{ - 6x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{ - 6x}}dx} =$

$= - \frac{{4 - 3x}}{6}{e^{ - 6x}} - \frac{1}{2} \cdot ( - \frac{1}{6}{e^{ - 6x}}) + C =$

$= - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}}(8 - 6x - 1) + C =$

$= - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}}(7 - 6x) + C.$

Проверка:

$( - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}}(7 - 6x) + C)' =$

$= ( - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}})' \cdot (7 - 6x) + (7 - 6x)' \cdot ( - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}}) =$

$= - \frac{6}{{12}}{e^{ - 6x}} \cdot (7 - 6x) + ( - 6) \cdot ( - \frac{1}{{12}}{e^{ - 6x}}) =$

$= \frac{6}{{12}}{e^{ - 6x}} \cdot (7 - 6x + 1) = \frac{{8 - 6x}}{2}{e^{ - 6x}} = (4 - 3x){e^{ - 6x}}.$

$3)\int {({x^2}} + 1) \cdot \sin 2xdx = \left| \begin{gathered} u = {x^2} + 1, \hfill \\ du = ({x^2} + 1)'dx = 2xdx, \hfill \\ dv = \sin 2xdx, \hfill \\ v = \int {\sin 2xdx = - \frac{1}{2}\cos 2x} \hfill \\ \end{gathered} \right| =$

По формуле интегрирования по частям имеем:

$= - \frac{1}{2}\cos 2x({x^2} + 1) - \int ( - \frac{1}{2}\cos 2x) \cdot 2xdx =$

$= - \frac{1}{2}\cos 2x({x^2} + 1) + \int {x\cos 2xdx} =$

Интегрируем по частям еще раз

$= \left| \begin{gathered} u = x,du = x'dx = dx \hfill \\ dv = \cos 2xdx \hfill \\ v = \int {\cos 2xdx = \frac{1}{2}\sin 2x} \hfill \\ \end{gathered} \right| =$