Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям — один из основных элементов темы «Неопределенный интеграл».

Формула интегрирования по частям:

$\int {udv = uv - \int {vdu} }$

Таким образом, в подынтегральной функции нужно увидеть произведение двух множителей, один из которых нужно продифференцировать, а второй — проинтегрировать.

Рассмотрим по очереди три типа интегралов, для интегрирования которых используется метод интегрирования по частям.

I.Начнем с интегралов вида

$\int {P(x)\ln xdx;\int {P(x)\arcsin xdx;\int {P(x)\arccos xdx;} } }$

$\int {P(x)arctgxdx;\int {P(x)arcctgxdx} }$

где P(x) — многочлен. В таких интегралах

$dv = P(x)dx, \Rightarrow v = \int {P(x)dx}$

а в качестве u берут ln x, arcsin x, arccos x, arctg x или arcctg x. Соответственно:

$u = \ln x, \Rightarrow du = (\ln x)'dx = \frac{{dx}}{x}$

$u = \arcsin x, \Rightarrow du = (\arcsin x)'dx = \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$

$u = \arccos x, \Rightarrow du = (\arccos x)'dx = - \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$

$u = arctgx, \Rightarrow du = (arctgx)'dx = \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}$

$u = arcctgx, \Rightarrow du = (arcctgx)'dx = - \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}.$

Теперь перейдем к конкретным примерам.

Вычислить интегралы (применяя метод интегрирования по частям)

$1)\int {\frac{{\ln xdx}}{{\sqrt x }}} = \left| \begin{gathered} u = \ln x,du = \frac{{dx}}{x} \hfill \\ dv = \frac{{dx}}{{\sqrt x }},v = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x } \hfill \\ \end{gathered} \right| =$

(При нахождении v при интегрировании +С не пишут). Подставляя найденные u и v в формулу интегрирования по частям, получаем:

$= \ln x \cdot 2\sqrt x - \int {\frac{{2\sqrt x dx}}{x}} = 2\sqrt x \ln x - 2\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} =$

После сокращения на √x получили табличный интеграл:

$= 2\sqrt x \ln x - 2 \cdot 2\sqrt x + C = 2\sqrt x \ln x - 4\sqrt x + C =$

$= 2\sqrt x (\ln x - 2) + C.$

Интегрирование полезно проверить обратным действием. Продифференцировав полученное выражение, мы должны прийти к выражению, которое стояло под знаком интеграла.

$(2\sqrt x (\ln x - 2) + C)' = (2\sqrt x )' \cdot (\ln x - 2) +$

$+ (\ln x - 2)' \cdot 2\sqrt x + 0 =$

$= \frac{2}{{2\sqrt x }} \cdot (\ln x - 2) + \frac{1}{x} \cdot 2\sqrt x = \frac{{\ln x - 2}}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x }} = \frac{{\ln x}}{{\sqrt x }}.$

Значит, интеграл найден верно.

$2)\int {xarctgxdx = } \left| \begin{gathered} u = arctgx,du = \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}} \hfill \\ dv = xdx,v = \int {xdx = \frac{{{x^2}}}{2}} \hfill \\ \end{gathered} \right| =$

$= \frac{{{x^2}}}{2} \cdot arctgx - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}dx}}{{1 + {x^2}}}} =$

$= \frac{{{x^2}}}{2} \cdot arctgx - \frac{1}{2}\int {\frac{{({x^2} + 1 - 1)dx}}{{1 + {x^2}}}} =$

$= \frac{{{x^2}}}{2} \cdot arctgx - \frac{1}{2}\int {(1 - \frac{1}{{1 + {x^2}}}} )dx =$

$= \frac{{{x^2}}}{2} \cdot arctgx - \frac{1}{2}(\int {dx - \int {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} } ) =$

$= \frac{{{x^2}arctgx}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}arctgx + C =$

$= \frac{1}{2}arctgx({x^2} + 1) - \frac{1}{2}x + C.$

Проверка:

$(\frac{1}{2}arctgx({x^2} + 1) - \frac{1}{2}x + C)' =$

$= (\frac{1}{2}arctgx)' \cdot ({x^2} + 1) + ({x^2} + 1)' \cdot \frac{1}{2}arctgx - \frac{1}{2} =$

$= \frac{{{x^2} + 1}}{{2(1 + {x^2})}} + 2x \cdot \frac{1}{2}arctgx - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + x \cdot arctgx - \frac{1}{2} =$

$= xarctgx.$

$3)\int {\arcsin xdx = \left| \begin{gathered} u = \arcsin x,du = \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \hfill \\ dv = dx,v = \int {dx = x} \hfill \\ \end{gathered} \right|} =$

$= x \cdot \arcsin x - \int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = \left| \begin{gathered} t = 1 - {x^2} \hfill \\ dt = (1 - {x^2})'dx = - 2xdx \hfill \\ \end{gathered} \right| =$