Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям — один из основных элементов темы «Неопределенный интеграл».

Формула интегрирования по частям:

    \[\int {udv = uv - \int {vdu} } \]

Таким образом, в подынтегральной функции нужно увидеть произведение двух множителей, один из которых нужно продифференцировать, а второй — проинтегрировать.

Рассмотрим по очереди три типа интегралов, для интегрирования которых используется метод интегрирования по частям.

I.Начнем с интегралов вида

    \[\int {P(x)\ln xdx;\int {P(x)\arcsin xdx;\int {P(x)\arccos xdx;} } } \]

    \[\int {P(x)arctgxdx;\int {P(x)arcctgxdx} } \]

где P(x) — многочлен. В таких интегралах

    \[dv = P(x)dx, \Rightarrow v = \int {P(x)dx} \]

а в качестве u берут ln x, arcsin x, arccos x, arctg x или arcctg x. Соответственно:

    \[u = \ln x, \Rightarrow du = (\ln x)'dx = \frac{{dx}}{x}\]

    \[u = \arcsin x, \Rightarrow du = (\arcsin x)'dx = \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\]

    \[u = \arccos x, \Rightarrow du = (\arccos x)'dx =  - \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\]

    \[u = arctgx, \Rightarrow du = (arctgx)'dx = \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}\]

    \[u = arcctgx, \Rightarrow du = (arcctgx)'dx =  - \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}.\]

Теперь перейдем к конкретным примерам.

Вычислить интегралы (применяя метод интегрирования по частям)

    \[1)\int {\frac{{\ln xdx}}{{\sqrt x }}}  = \left| \begin{gathered} u = \ln x,du = \frac{{dx}}{x} \hfill \\ dv = \frac{{dx}}{{\sqrt x }},v = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x }  \hfill \\ \end{gathered}  \right| = \]

(При нахождении v при интегрировании +С не пишут). Подставляя найденные u и v в формулу интегрирования по частям, получаем:

    \[ = \ln x \cdot 2\sqrt x  - \int {\frac{{2\sqrt x dx}}{x}}  = 2\sqrt x \ln x - 2\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}}  = \]

После сокращения на √x получили табличный интеграл:

    \[ = 2\sqrt x \ln x - 2 \cdot 2\sqrt x  + C = 2\sqrt x \ln x - 4\sqrt x  + C = \]

    \[ = 2\sqrt x (\ln x - 2) + C.\]

Интегрирование полезно проверить обратным действием. Продифференцировав полученное выражение, мы должны прийти к выражению, которое стояло под знаком интеграла.

    \[(2\sqrt x (\ln x - 2) + C)' = (2\sqrt x )' \cdot (\ln x - 2) + \]

    \[ + (\ln x - 2)' \cdot 2\sqrt x  + 0 = \]

    \[ = \frac{2}{{2\sqrt x }} \cdot (\ln x - 2) + \frac{1}{x} \cdot 2\sqrt x  = \frac{{\ln x - 2}}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x }} = \frac{{\ln x}}{{\sqrt x }}.\]

Значит, интеграл найден верно.

    \[2)\int {xarctgxdx = } \left| \begin{gathered} u = arctgx,du = \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}} \hfill \\ dv = xdx,v = \int {xdx = \frac{{{x^2}}}{2}}  \hfill \\ \end{gathered}  \right| = \]

    \[ = \frac{{{x^2}}}{2} \cdot arctgx - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}dx}}{{1 + {x^2}}}}  = \]

    \[ = \frac{{{x^2}}}{2} \cdot arctgx - \frac{1}{2}\int {\frac{{({x^2} + 1 - 1)dx}}{{1 + {x^2}}}}  = \]

    \[ = \frac{{{x^2}}}{2} \cdot arctgx - \frac{1}{2}\int {(1 - \frac{1}{{1 + {x^2}}}} )dx = \]

    \[ = \frac{{{x^2}}}{2} \cdot arctgx - \frac{1}{2}(\int {dx - \int {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} } ) = \]

    \[ = \frac{{{x^2}arctgx}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}arctgx + C = \]

    \[ = \frac{1}{2}arctgx({x^2} + 1) - \frac{1}{2}x + C.\]

Проверка:

    \[(\frac{1}{2}arctgx({x^2} + 1) - \frac{1}{2}x + C)' = \]

    \[ = (\frac{1}{2}arctgx)' \cdot ({x^2} + 1) + ({x^2} + 1)' \cdot \frac{1}{2}arctgx - \frac{1}{2} = \]

    \[ = \frac{{{x^2} + 1}}{{2(1 + {x^2})}} + 2x \cdot \frac{1}{2}arctgx - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + x \cdot arctgx - \frac{1}{2} = \]

    \[ = xarctgx.\]

    \[3)\int {\arcsin xdx = \left| \begin{gathered} u = \arcsin x,du = \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \hfill \\ dv = dx,v = \int {dx = x}  \hfill \\ \end{gathered}  \right|}  = \]

    \[ = x \cdot \arcsin x - \int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}  = \left| \begin{gathered} t = 1 - {x^2} \hfill \\ dt = (1 - {x^2})'dx =  - 2xdx \hfill \\ \end{gathered}  \right| = \]

    \[ = x\arcsin x + \frac{1}{2}\int {\frac{{ - 2xdx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}  = x\arcsin x + \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{{\sqrt t }}}  = \]

    \[ = x\arcsin x + \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt t  + C = x\arcsin x + \sqrt {1 - {x^2}}  + C.\]

Проверка

    \[(x\arcsin x + \sqrt {1 - {x^2}}  + C)' = x' \cdot \arcsin x + (\arcsin x)' \cdot x + \]

    \[ + \frac{1}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} \cdot (1 - {x^2})' = \arcsin x + \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + \]

    \[ + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = \arcsin x + \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \arcsin x.\]

Примеры для самопроверки.

Вычислить интегралы, используя метод интегрирования по частям:

    \[1)\int {{x^3}} \ln xdx;\]

    \[2)\int {{x^5}} arcctgxdx;\]

Показать решение

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *