Подведение под знак дифференциала

Подведение под знак дифференциала — метод интегрирования, который используется достаточно часто.

Технически подведение под знак дифференциала и замена переменной — один и тот же метод нахождения неопределенного интеграла. Отличие — в оформлении.

Подведение под знак интеграла опирается на  III правило  интегрирования. Если в произведении функции, стоящей под знаком интеграла, и дифференциала можно увидеть произведение другой функции и дифференциала от нее, то применяем подведение под знак дифференциала:

    \[\int {f(\varphi (x))\varphi '(x)dx = \int {f(u)du,} } \]

    \[u = \varphi (x)\]

Рассмотрим интегрирование подведением под знак дифференциала на примерах.

    \[1)\int {\frac{{{e^{\frac{1}{x}}}dx}}{{{x^2}}}}  =  - \int {{e^{\frac{1}{x}}}} d(\frac{1}{x}) =  - {e^{^{\frac{1}{x}}}} + C.\]

Под знаком интеграла стоит произведение

    \[{e^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{1}{{{x^2}}} \cdot dx\]

Поскольку

    \[(\frac{1}{x})' =  - \frac{1}{{{x^2}}}, \Rightarrow d(\frac{1}{x}) =  - \frac{1}{{{x^2}}}dx\]

Не хватает только минуса. Его получаем, умножив на -1 подынтегральную функцию и одновременно вынося минус за знак интеграла.

    \[2)\int {\frac{{xdx}}{{{x^2} - 12}}}  = \frac{1}{2}\int {\frac{{2xdx}}{{{x^2} - 12}}}  = \frac{1}{2}\int {\frac{{d({x^2} - 12)}}{{{x^2} - 12}}}  = \]

    \[ = \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} - 12} \right| + C.\]

    \[3)\int {\frac{{(1 + \cos x)dx}}{{\sqrt {x + \sin x} }}}  = \int {\frac{{d(x + \sin x)}}{{\sqrt {x + \sin x} }}}  = \int {\frac{{d(x + \sin x)}}{{\sqrt {x + \sin x} }}}  = \]

    \[ = 2\sqrt {x + \sin x}  + C.\]

Очень часто подведение под знак дифференциала используют для нахождения интегралов вида

    \[\int {f(kx + b)dx = \frac{1}{k}\int {f(kx + b)df = \frac{1}{k}F} } (kx + b) + C.\]

Нахождение таких интегралов не вызывает затруднений, и в дальнейшем, когда интегралы такого вида появляются в процессе вычисления более сложных интегралов,  можно не расписывать их, а сразу записывать ответ с учетом формул:

    \[{1)\int {{{(kx + b)}^n}dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{{{{(kx + b)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C} }\]

    \[{1a)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {kx + b} }} = \frac{1}{k} \cdot 2\sqrt {kx + b}  + C} }\]

    \[{1b)\int {\frac{{dx}}{{{{(kx + b)}^2}}} =  - \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{{kx + b}} + C} }\]

    \[{2)\int {\frac{{dx}}{{kx + b}} = \frac{1}{k}\ln \left| {kx + b} \right| + C} }\]

    \[{3)\int {{e^{kx + b}}dx = \frac{1}{k} \cdot {e^{kx + b}} + C} }\]

    \[{4)\int {{a^{kx + b}}} dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{{{a^{kx + b}}}}{{\ln a}} + C}\]

    \[{5)\int {\sin (kx + b)dx =  - \frac{1}{k}\cos (kx + b) + C} }\]

    \[{6)\int {\cos (kx + b)dx = \frac{1}{k}\sin (kx + b) + C} }\]

    \[{7)\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}(kx + b)}} = \frac{1}{k}tg(kx + b) + C} }\]

    \[{8)\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}(kx + b)}} =  - \frac{1}{k}ctg(kx + b) + C} }\]

Примеры для самопроверки

Найти интеграл подведением под знак дифференциала:

    \[1)\int {tgxdx;} \]

    \[2)\int {\frac{{\cos (\ln x)dx}}{x}} ;\]

    \[3)\int {\frac{{\sin (arctgx)dx}}{{1 + {x^2}}}} .\]

Показать решение

2 Comments

  1. GROK:

    а замена переменных и интегрирование по частям в неопределенном интеграле у вас есть?

  2. admin:

    На интегрирование по частям есть несколько постов. О замене переменных тоже есть. Смотрите рубрику «Неопределенный интеграл»: http://www.matematika.uznateshe.ru/category/neopredelennyj-integral/

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *