Интегрирование заменой переменной

Рубрика: Неопределенный интеграл

Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.

Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:

    \[\int {f(x) \cdot f'(x)dx = \left| \begin{gathered} t = f(x), \Rightarrow  \hfill \\ dt = f'(x)dx \hfill \\ \end{gathered}  \right|}  = \int {tdt} \]

То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.

Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.

Вычислить интегралы методом замены переменой:

    \[1)\int {\frac{{arctgx}}{{1 + {x^2}}}} dx\]

Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся таблицей интегралов:

    \[\int {\frac{{arctgx}}{{1 + {x^2}}}} dx = \left| \begin{gathered} t = arctgx \hfill \\ dt = (arctgx)'dx =  \hfill \\ = \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}} \hfill \\ \end{gathered}  \right| = \int {tdt = \frac{{{t^2}}}{2}}  + C = \]

После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:

    \[ = \frac{{arct{g^2}x}}{2} + C.\]

    \[2)\int {{e^x}}  \cdot \sin ({e^x})dx\]

Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:

    \[\int {{e^x}}  \cdot \sin ({e^x})dx = \left| \begin{gathered} t = {e^x} \hfill \\ dt = ({e^x})'dx = {e^x}dx \hfill \\ \end{gathered}  \right| = \]

    \[ = \int {\sin tdt =  - \cos t + C}  =  - \cos ({e^x}) + C.\]

    \[3)\int {\frac{{{{\ln }^3}x}}{x}} dx = \left| \begin{gathered} t = \ln x \hfill \\ dt = (\ln )'dx = \frac{{dx}}{x} \hfill \\ \end{gathered}  \right| = \int {{t^3}} dt = \]

    \[ = \frac{{{t^4}}}{4} + C = \frac{{{{\ln }^4}x}}{4} + C.\]

    \[4)\int {\frac{{\sin x - \cos x}}{{{{(\cos x + \sin x)}^5}}}} dx = \left| \begin{gathered} t = \cos x + \sin x \hfill \\ dt = (\cos x + \sin x)'dx =  \hfill \\ = ( - \sin x + \cos x)dx \hfill \\ \end{gathered}  \right|\]

Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:

    \[ =  - \int {\frac{{ - \sin x + \cos x}}{{{{(\cos x + \sin x)}^5}}}} dx =  - \int {\frac{{dt}}{{{t^5}}}}  =  - \int {{t^{ - 5}}} dt = \]

    \[ =  - \frac{{{t^{ - 5 + 1}}}}{{ - 5 + 1}} + C = \frac{{{t^{ - 4}}}}{4} + C = \frac{1}{{4{t^4}}} + C = \frac{1}{{4{{(\cos x + \sin x)}^4}}} + C.\]

    \[5)\int {tgx \cdot \ln (\cos x)dx = \left| \begin{gathered} t = \ln (\cos x) \hfill \\ dt = (\ln (\cos x))'dx =  \hfill \\ = \frac{1}{{\cos x}} \cdot (\cos x)'dx =  \hfill \\ =  - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx =  - tgxdx \hfill \\ \end{gathered}  \right| = } \]

(Здесь (ln(cosx))’ — производная сложной функции.)

    \[ =  - \int {tdt =  - \frac{{{t^2}}}{2}}  + C =  - \frac{{{{\ln }^2}(\cos x)}}{2} + C.\]

Примеры для самопроверки.

Найти интегралы, применяя метод замены переменной:

    \[1)\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x \cdot (1 + t{g^2}x)}}} ;\]

    \[2)\int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {1 - {{\ln }^2}x} }}} ;\]

    \[3)\int {\frac{{({x^2} + 1)dx}}{{{{({x^3} + 3x + 7)}^{10}}}}} ;\]

    \[4)\int {{e^{\sin x}}} \cos xdx;\]

    \[5)\int {\frac{{\sin \sqrt x }}{{\sqrt x }}} dx.\]

Показать решение

Также та или иная замена переменной в неопределенном интеграле используется для решения определенных типов интегралов. Но о них — дальше.

 

Оставить комментарий

Besucherzahler ukrain women
счетчик для сайта