Интегрирование заменой переменной

Интегрирование заменой переменной (метод подстановки) — один из самых часто встречающихся методов нахождения интегралов.

Цель введения новой переменной — упростить интегрирование. Лучший вариант — заменив переменную, получить относительно новой переменной табличный интеграл. Как определить, какую замену нужно сделать? Навыки приходят с опытом. Чем больше примеров решено, тем быстрее решаются следующие. На начальном этапе используем следующие рассуждения:

$\int {f(x) \cdot f'(x)dx = \left| \begin{gathered} t = f(x), \Rightarrow \hfill \\ dt = f'(x)dx \hfill \\ \end{gathered} \right|} = \int {tdt}$

То есть. если под знаком интеграла мы видим произведение некоторой функции f(x) и ее производной f ‘(x), то то эту функцию f(x) нужно взять в качестве новой переменной t, поскольку дифференциал dt=f ‘(x)dx уже есть.

Рассмотрим, как работает метод замены переменной, на конкретных примерах.

Вычислить интегралы методом замены переменой:

$1)\int {\frac{{arctgx}}{{1 + {x^2}}}} dx$

Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся таблицей интегралов:

$\int {\frac{{arctgx}}{{1 + {x^2}}}} dx = \left| \begin{gathered} t = arctgx \hfill \\ dt = (arctgx)'dx = \hfill \\ = \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \int {tdt = \frac{{{t^2}}}{2}} + C =$

После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:

$= \frac{{arct{g^2}x}}{2} + C.$

$2)\int {{e^x}} \cdot \sin ({e^x})dx$

Если взять за t синус, то должна быть и его производная, косинус (с точностью до знака). Но косинуса в подынтегральном выражении нет. А вот если в качестве t взять экспоненту, все получается:

$\int {{e^x}} \cdot \sin ({e^x})dx = \left| \begin{gathered} t = {e^x} \hfill \\ dt = ({e^x})'dx = {e^x}dx \hfill \\ \end{gathered} \right| =$

$= \int {\sin tdt = - \cos t + C} = - \cos ({e^x}) + C.$

$3)\int {\frac{{{{\ln }^3}x}}{x}} dx = \left| \begin{gathered} t = \ln x \hfill \\ dt = (\ln )'dx = \frac{{dx}}{x} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \int {{t^3}} dt =$

$= \frac{{{t^4}}}{4} + C = \frac{{{{\ln }^4}x}}{4} + C.$

$4)\int {\frac{{\sin x - \cos x}}{{{{(\cos x + \sin x)}^5}}}} dx = \left| \begin{gathered} t = \cos x + \sin x \hfill \\ dt = (\cos x + \sin x)'dx = \hfill \\ = ( - \sin x + \cos x)dx \hfill \\ \end{gathered} \right|$

Чтобы получить нужный дифференциал dt, изменим знак в числителе и перед интегралом:

$= - \int {\frac{{ - \sin x + \cos x}}{{{{(\cos x + \sin x)}^5}}}} dx = - \int {\frac{{dt}}{{{t^5}}}} = - \int {{t^{ - 5}}} dt =$

$= - \frac{{{t^{ - 5 + 1}}}}{{ - 5 + 1}} + C = \frac{{{t^{ - 4}}}}{4} + C = \frac{1}{{4{t^4}}} + C = \frac{1}{{4{{(\cos x + \sin x)}^4}}} + C.$

$5)\int {tgx \cdot \ln (\cos x)dx = \left| \begin{gathered} t = \ln (\cos x) \hfill \\ dt = (\ln (\cos x))'dx = \hfill \\ = \frac{1}{{\cos x}} \cdot (\cos x)'dx = \hfill \\ = - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx = - tgxdx \hfill \\ \end{gathered} \right| = }$