Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования основан на применении правил интегрирования и использовании табличных интегралов.

В простейших примерах для применения непосредственного интегрирования достаточно разложить подынтегральную функцию на слагаемые и постоянные величины вынести за знак интеграла.

Примеры.

    \[1)\int {(5{x^4}}  - \frac{1}{x} + \frac{3}{{9 + {x^2}}} - 11)dx = \]

    \[ = 5\int {{x^4}} dx - \int {\frac{{dx}}{x}}  + 3\int {\frac{{dx}}{{9 + {x^2}}}}  - 11\int {dx}  = \]

    \[ = 5 \cdot \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} - \ln \left| x \right| + 3 \cdot \frac{1}{3}arctg\frac{x}{3} - 11x + C = \]

    \[ = {x^5} - \ln \left| x \right| + arctg\frac{x}{3} - 11x + C.\]

Обычно эти действия проводят устно, записывая лишь результат интегрирования:

    \[2)\int {(3{e^x}}  + 4\cos x - \frac{8}{{\sqrt x }} + 12x)dx = \]

    \[ = 3{e^x} + 4( - \sin x) - 8 \cdot 2\sqrt x  + 12 \cdot \frac{{{x^{1 + 1}}}}{{1 + 1}} + C = \]

    \[ = 3{e^x} - 4\sin x - 16\sqrt x  + 6{x^2} + C.\]

В некоторых случаях выражение, стоящее под знаком интеграла, можно с помощью алгебраических преобразований упростить так, чтобы можно было применить метод непосредственного интегрирования. 

    \[3)\int {({x^3} + \sqrt x } {)^2}dx = \int {[{{({x^3})}^2} + 2{x^3}\sqrt x }  + {(\sqrt x )^2}]dx = \]

    \[ = \int {[{x^6}}  + 2{x^{\frac{7}{2}}} + x]dx = \frac{{{x^7}}}{7} + \frac{{2{x^{\frac{9}{2}}}}}{{\frac{9}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2} + C = \]

    \[ = \frac{{{x^7}}}{7} + \frac{{4{x^2}}}{9} + \frac{{{x^2}}}{2} + C.\]

    \[4)\int {\frac{{{x^3} + x - 2}}{{{x^3}}}} dx = \int {(\frac{{{x^3}}}{{{x^3}}}}  + \frac{x}{{{x^3}}} - \frac{2}{{{x^3}}})dx = \]

    \[ = \int {(1 + \frac{1}{{{x^2}}}}  - 2{x^{ - 3}})dx = x - \frac{1}{x} - \frac{{2{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \]

    \[ = x - \frac{1}{x} - \frac{{2{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = x - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + C.\]

    \[5)\int {ct{g^2}} xdx = \int {(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}  - 1)dx =  - ctgx - x + C.\]

Примеры для самопроверки.

Применяя метод непосредственного интегрирования, найти интегралы:

    \[1)\int {(5 \cdot {3^x}}  - 7\cos x + 3{x^{10}} - 9)dx;\]

    \[2)\int {\frac{{x + 3 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }}} dx;\]

    \[3)\int {{{(4x - {x^3})}^2}} dx.\]

Показать решение

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>