Правила интегрирования и таблица интегралов

Основные правила интегрирования и таблица интегралов на начальном этапе изучения темы — полезные подсказки, которые удобно всегда иметь перед собой.

Основные правила интегрирования

    \[I.\int {Cf(x)dx = C\int {f(x)dx} } \]

Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

    \[II.\int {\left[ {{f_1}(x) \pm {f_2}(x)} \right]} dx = \int {{f_1}} (x)dx \pm \int {{f_2}} (x)dx\]

Интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых.

    \[III.\left. \begin{gathered} \int {f(x)dx = F(x) + C}  \hfill \\ u = \varphi (x) \hfill \\ \end{gathered}  \right\} \Rightarrow \int {f(u)du = F(u) + C.} \]

В частности,

    \[\int {f(kx + b)} dx = \frac{1}{k}F(kx + b) + C,\]

где k и b — числа.

Таблица неопределенных интегралов

    \[1)\int {dx = x + C} \]

    \[2)\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\]

    \[2a)\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}}  =  - \frac{1}{x} + C\]

    \[2b)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}}  = 2\sqrt x  + C\]

    \[3)\int {\frac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right| + C\]

    \[4)\int {\sin xdx =  - \cos x + C} \]

    \[5)\int {\cos xdx = \sin x + C} \]

    \[6)\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}  = tgx + C\]

    \[7)\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}  =  - ctgx + C\]

    \[8)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}  = \arcsin \frac{x}{a} + C =  - \arccos \frac{x}{a} + C\]

    \[8a)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}  = \arcsin x + C =  - \arccos x + C\]

    \[9)\int {\frac{{dx}}{{{a^2} + {x^2}}}}  = \frac{1}{a}arctg\frac{x}{a} + C =  - \frac{1}{a}arcctg\frac{x}{a} + C\]

    \[9a)\int {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}}  = arctgx + C =  - arcctgx + C\]

    \[10)\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\]

    \[11)\int {{e^x}} dx = {e^x} + C\]

    \[12)\int {\frac{{dx}}{{{a^2} - {x^2}}}}  = \frac{1}{{2a}}\ln \left| {\frac{{a + x}}{{a - x}}} \right| + C\]

    \[12a)\int {\frac{{dx}}{{1 - {x^2}}}}  = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C\]

    \[13)\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}}}  = \frac{1}{{2a}}\ln \left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right| + C\]

    \[13a)\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 1}}}  = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C\]

    \[14)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + A} }}}  = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + A} } \right| + C\]

    \[14a)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - A} }}}  = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} - A} } \right| + C\]

 

5 Comments

  1. Иван:

    Здравствуйте, не могли бы вы мне помочь с решением неопределенного интеграла arcctg(4x)dx, никак не получается.

    1. admin:

      Этот пример решается методом интегрирования по частям.[int {arcctg(4x)dx = left| begin{array}{l}
      u = arcctg(4x),\
      du = — frac{{4dx}}{{1 + {x^2}}},\
      dv = dx,\
      v = int {dx = x}
      end{array} right|} = ][ = xarcctg(4x) + 4int {frac{{xdx}}{{1 + {x^2}}}} = ][ = xarcctg(4x) + 2int {frac{{d(1 + {x^2})}}{{1 + {x^2}}}} = ][ = xarcctg(4x) + 2ln (1 + {x^2}) + C.]

  2. Иван:

    огромное спасибо

  3. Анастасия:

    Помогите пожалуйста решить интеграл dx/sin x + cos x

    1. Подстановка tgx=t, тогда

          \[\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}};\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}};dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}\]

          \[\int {\frac{{dx}}{{\sin x + \cos x}}}  = \int {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}}  = \]

          \[ = \int {\frac{{2dt}}{{2t + 1 - {t^2}}}}  = \int {\frac{{2dt}}{{2 - {{(t - 1)}^2}}}}  = \]

          \[ = \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2  + t - 1}}{{\sqrt 2  - t + 1}}} \right| + C = \]

          \[ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2  + tgx - 1}}{{\sqrt 2  - tgx + 1}}} \right| + C = \]

      и дальше выражение под знаком модуля еще преобразовывается.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *