Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим решение неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, в которых правая часть содержит синус и косинус.

Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

$1)y'' - 3y' - 10y = \sin x + 3\cos x$

Составим для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение и решим его:

${k^2} - 3k - 10 = 0, \Rightarrow {k_1} = 5;{k_2} = - 2$

Корни k1 и k2 — действительные числа, причем k1≠k2, поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения есть

${y_o} = {C_1}{e^{5x}} + {C_2}{e^{ - 2x}}.$

$f(x) = \sin x + 3\cos x = {e^{0x}}(\sin 1 \cdot x + 3\cos 1 \cdot x)$

$\Rightarrow a = 0,b = 1.$

Поскольку a±bi=0±1i=±i не является корнем характеристического уравнения, это — случай IIa.

$P(x) = 3,Q(x) = 1,$

то есть P и Q — многочлены нулевой степени. Значит, S и T — тоже многочлены нулевой степени, T=A, S=B,

$\Rightarrow Y = A\sin x + B\cos x$

Теперь находим первую и вторую производные от Y, подставляем получившиеся выражения в условие и ищем неопределенные коэффициенты A и B:

$Y' = (A\sin x + B\cos x)' = A\cos x - B\sin x$

$- A\sin x - B\cos x - 3(A\cos x - B\sin x) - 10(A\sin x +$

$+ B\cos x) = \sin x + 3\cos x$

$- 11A\sin x + 3B\sin x - 11B\cos x - 3A\cos x = \sin x + 3\cos x$

Теперь приравниваем коэффициенты при sin x и при cos x:

$\left\{ \begin{gathered} - 11A + 3B = 1; \hfill \\ - 11B - 3A = 3. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Умножив 1-е уравнение системы на 11, второе на 3 и сложив их, получаем: -130A=20. Отсюда A=-2/13. Подставив в 1-е уравнение полученное значение, находим B: B=(1-22/13)/3=-3/13. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения есть

$Y = - \frac{2}{{13}}\sin x - \frac{3}{{13}}\cos x.$

А значит, общее решение данного неоднородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами есть

$y = {y_o} + Y = {C_1}{e^{5x}} + {C_2}{e^{ - 2x}} - \frac{2}{{13}}\sin x - \frac{3}{{13}}\cos x.$

$2)y'' - y = 2x\sin x.$

Составляем и решаем характеристическое уравнение однородного ДУ:

$y'' - y = 0, \Rightarrow {k^2} - 1 = 0, \Rightarrow {k_1} = 1,{k_2} = - 1.$

k1 и k2- действительные числа, k1≠k2, поэтому общее решение ЛОДУ есть

${y_o} = {C_1}{e^{1 \cdot x}} + {C_2}{e^{ - 1\cdotx}} = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{ - x}}.$

$f(x) = {e^{0x}}(0 \cdot \cos x + 2x\sin x), \Rightarrow a = 0,b = 1.$

a±bi=0±i=±i не является корнем характеристического уравнения, P(x)=0, Q(x)=2x, то есть максимальная из степеней P и Q — первая. Значит, S и T — многочлены 1-й степени. Поэтому частное решение ЛНДУ второго порядка в этом случае будем искать как

$Y = (Ax + B)\sin x + (Cx + D)\cos x,$