Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим решение неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, в которых правая часть содержит синус и косинус.

Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

    \[1)y'' - 3y' - 10y = \sin x + 3\cos x\]

Составим для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение и решим его:

    \[{k^2} - 3k - 10 = 0, \Rightarrow {k_1} = 5;{k_2} =  - 2\]

Корни k1 и k2 — действительные числа, причем k1≠k2, поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения есть

    \[{y_o} = {C_1}{e^{5x}} + {C_2}{e^{ - 2x}}.\]

    \[f(x) = \sin x + 3\cos x = {e^{0x}}(\sin 1 \cdot x + 3\cos 1 \cdot x)\]

    \[ \Rightarrow a = 0,b = 1.\]

Поскольку a±bi=0±1i=±i не является корнем характеристического уравнения, это — случай IIa.

    \[P(x) = 3,Q(x) = 1,\]

то есть P и Q — многочлены нулевой степени. Значит, S и T — тоже многочлены нулевой степени, T=A, S=B,

    \[ \Rightarrow Y = A\sin x + B\cos x\]

Теперь находим первую и вторую производные от Y, подставляем получившиеся выражения в условие и ищем неопределенные коэффициенты A и B:

    \[Y' = (A\sin x + B\cos x)' = A\cos x - B\sin x\]

    \[ - A\sin x - B\cos x - 3(A\cos x - B\sin x) - 10(A\sin x + \]

    \[ + B\cos x) = \sin x + 3\cos x\]

    \[ - 11A\sin x + 3B\sin x - 11B\cos x - 3A\cos x = \sin x + 3\cos x\]

Теперь приравниваем коэффициенты при sin x и при cos x: 

    \[\left\{ \begin{gathered} - 11A + 3B = 1; \hfill \\ - 11B - 3A = 3. \hfill \\ \end{gathered}  \right.\]

Умножив 1-е уравнение системы на 11, второе на 3 и сложив их, получаем: -130A=20. Отсюда A=-2/13. Подставив в 1-е уравнение полученное значение, находим B: B=(1-22/13)/3=-3/13. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения есть

    \[Y =  - \frac{2}{{13}}\sin x - \frac{3}{{13}}\cos x.\]

А значит, общее решение данного неоднородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами есть

    \[y = {y_o} + Y = {C_1}{e^{5x}} + {C_2}{e^{ - 2x}} - \frac{2}{{13}}\sin x - \frac{3}{{13}}\cos x.\]

    \[2)y'' - y = 2x\sin x.\]

Составляем и решаем характеристическое уравнение однородного ДУ:

    \[y'' - y = 0, \Rightarrow {k^2} - 1 = 0, \Rightarrow {k_1} = 1,{k_2} =  - 1.\]

k1 и k2- действительные числа, k1≠k2, поэтому общее решение ЛОДУ есть

    \[{y_o} = {C_1}{e^{1 \cdot x}} + {C_2}{e^{ - 1\cdotx}} = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{ - x}}.\]

    \[f(x) = {e^{0x}}(0 \cdot \cos x + 2x\sin x), \Rightarrow a = 0,b = 1.\]

a±bi=0±i=±i не является корнем характеристического уравнения, P(x)=0, Q(x)=2x, то есть максимальная из степеней P и Q — первая. Значит, S и T — многочлены 1-й степени. Поэтому частное решение ЛНДУ второго порядка в этом случае будем искать как

    \[Y = (Ax + B)\sin x + (Cx + D)\cos x,\]

где A, B, C, D — неопределенные коэффициенты. Находит первую и вторую производные частного решения Y и подставляем их в условие.

    \[Y' = ((Ax + B)\sin x + (Cx + D)\cos x)' = \]

    \[ = A\sin x + (Ax + B)\cos x + C\cos x - (Cx + D)\sin x;\]

    \[Y'' = (A\sin x + (Ax + B)\cos x + C\cos x - (Cx + D)\sin x)' = \]

    \[ = A\cos x + A\cos x - (Ax + B)\sin x - C\sin x - C\sin x - \]

    \[ - (Cx + D)\cos x = \]

    \[ = 2A\cos x - 2C\sin x - (Ax + B)\sin x - (Cx + D)\cos x\]

Теперь подставляем:

    \[2A\cos x - 2C\sin x - (Ax + B)\sin x - (Cx + D)\cos x - \]

    \[ - (Ax + B)\sin x - (Cx + D)\cos x = 2x\sin x\]

    \[2A\cos x - 2C\sin x - Ax\sin x - B\sin x - Cx\cos x - \]

    \[ - D\cos x - Ax\sin x - B\sin x - Cx\cos x - D\cos x = \]

    \[ = 2x\sin x\]

Приравниваем коэффициенты при  cos x, sin x, xsin x и xcos x:

    \[\left\{ \begin{gathered} 2A - 2D = 0 \hfill \\ - 2C - 2B = 0 \hfill \\ - 2A = 2 \hfill \\ - 2C = 0, \hfill \\ \end{gathered}  \right.\]

Откуда C=0, A=-1, B=0, D=A=-1. Таким образом, в этом случае частное решение ЛНДУ второго порядка есть

    \[Y =  - x\sin x - \cos x.\]

Так как общее решение дифференциальных уравнений второго порядка  есть сумма решений yo и Y, то

    \[y = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{ - x}} - x\sin x - \cos x.\]

Примеры для самопроверки.

Решить линейные неоднородные  дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

    \[1)y'' - 8y' + 12y =  - 65\cos 4x;\]

    \[2)y'' + y = \cos x.\]

Показать решение

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>