Правила интегрирования

Основные правила интегрирования и таблица интегралов на начальном этапе изучения темы — полезные подсказки, которые удобно всегда иметь перед собой.

Основные правила интегрирования

$I.\int {Cf(x)dx = C\int {f(x)dx} }$

Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

$II.\int {\left[ {{f_1}(x) \pm {f_2}(x)} \right]} dx = \int {{f_1}} (x)dx \pm \int {{f_2}} (x)dx$

Интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых.

$III.\left. \begin{gathered} \int {f(x)dx = F(x) + C} \hfill \\ u = \varphi (x) \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \int {f(u)du = F(u) + C.}$

В частности,

$\int {f(kx + b)} dx = \frac{1}{k}F(kx + b) + C,$

где k и b — числа.

Таблица неопределенных интегралов

$1)\int {dx = x + C}$

$2)\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$

$2a)\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} = - \frac{1}{x} + C$

$2b)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt x + C$

$3)\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C$

$4)\int {\sin xdx = - \cos x + C}$

$5)\int {\cos xdx = \sin x + C}$

$6)\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = tgx + C$

$7)\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - ctgx + C$

$8)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} = \arcsin \frac{x}{a} + C = - \arccos \frac{x}{a} + C$

$8a)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = \arcsin x + C = - \arccos x + C$

$9)\int {\frac{{dx}}{{{a^2} + {x^2}}}} = \frac{1}{a}arctg\frac{x}{a} + C = - \frac{1}{a}arcctg\frac{x}{a} + C$

$9a)\int {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = arctgx + C = - arcctgx + C$

$10)\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$

$11)\int {{e^x}} dx = {e^x} + C$

$12)\int {\frac{{dx}}{{{a^2} - {x^2}}}} = \frac{1}{{2a}}\ln \left| {\frac{{a + x}}{{a - x}}} \right| + C$

$12a)\int {\frac{{dx}}{{1 - {x^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C$

$13)\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}}} = \frac{1}{{2a}}\ln \left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right| + C$

$13a)\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 1}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C$

$14)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + A} }}} = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + A} } \right| + C$

$14a)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - A} }}} = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} - A} } \right| + C$

5 Comments

Иван:

11.12.2014 в 11:29 пп

Здравствуйте, не могли бы вы мне помочь с решением неопределенного интеграла arcctg(4x)dx, никак не получается.

Ответить

admin:

13.12.2014 в 12:27 дп

Этот пример решается методом интегрирования по частям.[int {arcctg(4x)dx = left| begin{array}{l}
u = arcctg(4x),\
du = — frac{{4dx}}{{1 + {x^2}}},\
dv = dx,\
v = int {dx = x}
end{array} right|} = ][ = xarcctg(4x) + 4int {frac{{xdx}}{{1 + {x^2}}}} = ][ = xarcctg(4x) + 2int {frac{{d(1 + {x^2})}}{{1 + {x^2}}}} = ][ = xarcctg(4x) + 2ln (1 + {x^2}) + C.]

Ответить

Иван:

14.12.2014 в 11:07 пп

огромное спасибо

Ответить

Анастасия:

04.06.2017 в 10:21 пп

Помогите пожалуйста решить интеграл dx/sin x + cos x

Ответить

admin:

04.06.2017 в 11:02 пп

Подстановка tgx=t, тогда

$\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}};\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}};dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}$

$\int {\frac{{dx}}{{\sin x + \cos x}}} = \int {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}} =$

$= \int {\frac{{2dt}}{{2t + 1 - {t^2}}}} = \int {\frac{{2dt}}{{2 - {{(t - 1)}^2}}}} =$

$= \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + t - 1}}{{\sqrt 2 - t + 1}}} \right| + C =$

$= \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + tgx - 1}}{{\sqrt 2 - tgx + 1}}} \right| + C =$

и дальше выражение под знаком модуля еще преобразовывается.

Ответить

Правила интегрирования и таблица интегралов

5 Comments

Добавить комментарий для Иван Отменить ответ

Свежие записи

Это интересно

Навигация по сайту

Рубрики

Свежие записи

Это интересно