Уравнения на интегрирующий множитель

Уравнения в полных дифференциалах решаются довольно просто. В связи с этим возникает вопрос — а нельзя ли, если левая часть уравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0   (I)  не является полным дифференциалом, умножив обе части уравнения на некоторый множитель µ(x;y), привести его к уравнению в полных дифференциалах?

Функция µ(x;y) называется интегрирующим множителем. К сожалению, общего метода нахождения интегрирующего множителя не существует. Его можно найти только в некоторых случаях.

Если µ=µ(x;y) — интегрирующий множитель уравнения (I), то уравнение µPdx+µQdy=0 является уравнением в полных дифференциалах. А значит, для него выполняется условие

    \[\frac{{\partial (P\mu )}}{{\partial y}} = \frac{{\partial (Q\mu )}}{{\partial x}}, \Rightarrow \mu \frac{{\partial P}}{{\partial y}} + P\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}} = \mu \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} + Q\frac{{\partial \mu }}{{\partial x}},\]

    \[ \Rightarrow P\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}} - Q\frac{{\partial \mu }}{{\partial x}} = \mu (\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}),\]

    \[ \Rightarrow P\frac{{\partial \mu }}{{\mu \partial y}} - Q\frac{{\partial \mu }}{{\mu \partial x}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}},\]

и, с учетом того, что (lnµ)’=1/µ, получаем, что  ∂µ/µ∂y=∂(lnµ)/∂y, а ∂µ/µ∂x=∂(lnµ)/∂x. Отсюда 

    \[P\frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial y}} - Q\frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial x}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}(II).\]

Таким образом, чтобы найти интегрирующий множитель µ, нужно найти какое-либо частное решение уравнения (II). Обычно на практике рассматривают два случая, для которых уравнение (II) упрощается и интегрирующий множитель можно легко найти.

1. Если интегрирующий множитель µ зависит только от переменной x, то есть µ=µ(x), тогда ∂(lnµ)/∂y=0 и выражение 1/Q(∂P/∂y-∂Q/∂x) не зависит от x. Для отыскания µ нужно решить обыкновенное дифференциальное уравнение

    \[\frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial x}} = \frac{1}{Q}(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}).\]

2. Если интегрирующий множитель µ зависит только от переменной y, то есть µ=µ(y), тогда ∂(lnµ)/∂x=0 и выражение 1/P(∂Q/∂x-∂P/∂y) не зависит от x. Интегрирующий множитель µ находят из уравнения

    \[\frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial y}} = \frac{1}{P}(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}).\]

Перейдем к рассмотрению примеров на нахождение интегрирующего множителя и решение полученного уравнения в полных дифференциалах для этих случаев.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *