Решение уравнений в полных дифференциалах

Проиллюстрируем решение уравнений в полных дифференциалах примерами.

    \[1)3{x^2}{e^y}dx + ({x^3}{e^y} - 1)dy = 0.\]

Решение:

Проверяем выполнение необходимого и достаточного условия:

    \[\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = (3{x^2}{e^y}){'_y} = 3{x^2}{e^y},\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = ({x^3}{e^y} - 1){'_x} = 3{x^2}{e^y},\]

    \[ \Rightarrow \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\]

Условие выполнено, а значит, это — дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.

    \[1)\frac{{\partial U}}{{\partial x}} = P(x;y) = 3{x^2}{e^y}, \Rightarrow U(x;y) = \int {3{x^2}{e^y}dx + \varphi (y) = } \]

    \[ = \frac{{3{x^3}}}{3}{e^y} + \varphi (y) = {x^3}{e^y} + \varphi (y).\]

2) Теперь продифференцируем найденную функцию U(x;y) по y:

    \[\frac{{\partial U}}{{\partial y}} = ({x^3}{e^y} + \varphi (y)){'_y} = {x^3}{e^y} + \varphi '(y).\]

А поскольку

    \[\frac{{\partial U}}{{\partial y}} = Q(x;y), \Rightarrow {x^3}{e^y} + \varphi '(y) = {x^3}{e^y} - 1.\]

Сопоставив левую и правую части равенства, приходим к выводу, что φ'(y)=-1. Интегрируем это равенство и находим φ(y):

    \[\varphi '(y) =  - 1, \Rightarrow \varphi (y) =  - \int {1 \cdot dy = }  - y + {C_1}.\]

3) Так как

    \[U(x;y) = {x^3}{e^y} + \varphi (y)\]

подставляем найденное значение φ(y) и получаем функцию U(x;y):

    \[U(x;y) = {x^3}{e^y} - y + {C_1}.\]

А поскольку интеграл уравнения в полных дифференциалах dU(x;y)=0 есть U(x;y)=C, то получаем, что 

    \[{x^3}{e^y} - y = C.\]

Ответ:

    \[{x^3}{e^y} - y = C.\]

2) (3x²y-4xy²)dx+(x³-4x²y+12y³)dy=0.

Решение:

Начинаем с проверки выполнения необходимого и достаточного условия:

    \[\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = (3{x^2}y - 4x{y^2}){'_y} = 3{x^2} \cdot 1 - 4x \cdot 2y = 3{x^2} - 8xy;\]

    \[\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = ({x^3} - 4{x^2}y + 12{y^3}){'_x} = 3{x^2} - 4 \cdot 2x \cdot y + 0 = 3{x^2} - 8xy.\]

Условие выполнено:

    \[\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}},\]

поэтому это — уравнение в полных дифференциалах. Решаем его по пунктам.

    \[1)\frac{{\partial U}}{{\partial x}} = P(x;y) = 3{x^2}y - 4x{y^2},\]

    \[ \Rightarrow U(x;y) = \int {(3{x^2}y - 4x{y^2}} )dx + \varphi (y) = \]

    \[ = \frac{{3{x^3}}}{3}y - \frac{{4{x^2}}}{2}{y^2} + \varphi (y) = {x^3}y - 2{x^2}{y^2} + \varphi (y).\]

2) Теперь продифференцируем полученную функцию U(x;y) по y:

    \[\frac{{\partial U}}{{\partial y}} = ({x^3}y - 2{x^2}{y^2} + \varphi (y)){'_y} = {x^3} \cdot 1 - 2{x^2} \cdot 2y + \varphi '(y) = \]

    \[ = {x^3} - 4{x^2}y + \varphi '(y).\]

А так как

    \[\frac{{\partial U}}{{\partial y}} = Q(x;y), \Rightarrow {x^3} - 4{x^2}y + \varphi '(y) = {x^3} - 4{x^2}y + 12{y^3}.\]

Сопоставляя левую и правую части равенства, приходим к выводу, что φ'(y)=12y³. Отсюда

    \[\varphi (x) = \int {12{y^3}} dy = \frac{{12{y^4}}}{4} + {C_1} = 3{y^4} + {C_1}.\]

3) Поскольку уже нашли U(x;y)=x³y-2x²y²+φ(y),подставив найденную функцию φ'(y), получаем

    \[U(x;y) = {x^3}y - 2{x^2}{y^2}3{y^4} + {C_1}, \Rightarrow {x^3}y - 2{x^2}{y^2}3{y^4} = 0.\]

Ответ:

    \[{x^3}y - 2{x^2}{y^2}3{y^4} = 0.\]

    \[3)(\frac{{xy}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 2xy - \frac{y}{x})dx + (\sqrt {1 + {x^2}}  + {x^2} - \ln x)dy = 0.\]

Решение:

Проверяем выполнение необходимого и достаточного условия:

    \[\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = (\frac{{xy}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 2xy - \frac{y}{x}){'_y} = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} \cdot 1 + 2x \cdot 1 - \frac{1}{x} = \]

    \[ = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 2x - \frac{1}{x};\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = (\sqrt {1 + {x^2}}  + {x^2} - \ln x){'_x} = \]

    \[ = \frac{1}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }} \cdot (1 + {x^2})' + 2x - \frac{1}{x} = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 2x - \frac{1}{x}.\]

Получили, что

    \[\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}},\]

значит, это — уравнение в полных дифференциалах.

1)

    \[\frac{{\partial U}}{{\partial x}} = P(x;y) = \frac{{xy}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 2xy - \frac{y}{x}, \Rightarrow \]

    \[U(x;y) = \int ( \frac{{xy}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 2xy - \frac{y}{x})dx + \varphi (y) = \]

    \[ = \frac{y}{2}\int {\frac{{2xdx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}  + 2y\int {xdx - y\int {\frac{{dx}}{x}} }  + \varphi (y) = \]

    \[ = \frac{y}{2} \cdot 2\sqrt {1 + {x^2}}  + 2y \cdot \frac{{{x^2}}}{2} - y \cdot \ln x + \varphi (y) = \]

    \[U(x;y) = y\sqrt {1 + {x^2}}  + {x^2}y - y\ln x + \varphi (y)\left[ I \right]\]

2) Теперь продифференцируем полученную функцию U(x;y) по y:

    \[\frac{{\partial U}}{{\partial y}} = (y\sqrt {1 + {x^2}}  + {x^2}y - y\ln x + \varphi (y)){'_y} = \]

    \[ = 1 \cdot \sqrt {1 + {x^2}}  + {x^2} \cdot 1 - 1 \cdot \ln x + \varphi '(y) = \]

    \[ = \sqrt {1 + {x^2}}  + {x^2} - \ln x + \varphi '(y).\]

А теперь вспоминаем, что 

    \[\frac{{\partial U}}{{\partial y}} = Q(x;y), \Rightarrow \]

    \[\sqrt {1 + {x^2}}  + {x^2} - \ln x + \varphi '(y) = \sqrt {1 + {x^2}}  + {x^2} - \ln x.\]

Сопоставив левую и правую части полученного равенства, приходим к выводу, что φ'(y)=0, откуда φ(y)=С1. Подставив полученную функцию в равенство (I), получаем, что 

    \[U(x;y) = y\sqrt {1 + {x^2}}  + {x^2}y - y\ln x + {C_1}.\]

Отсюда общий интеграл данного уравнения есть 

    \[y\sqrt {1 + {x^2}}  + {x^2}y - y\ln x = C.\]

Ответ:

    \[y\sqrt {1 + {x^2}}  + {x^2}y - y\ln x = C.\]

Задания для самопроверки:

4) (xcos2y+1)dx-x²sin2ydy=0;

5) (3x²+2y)dx+(2x-3)dy=0.

Показать решение

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *