Уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение P(x;y)+Q(x;y)=0 — уравнение в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом от некоторой функции U(x;y), то есть P(x;y)+Q(x;y)=dU(x;y). В этом случае уравнение можно рассматривать как dU(x;y)=0, а значит, общий интеграл уравнения имеет вид U(x;y)=C, где C — const. Как определить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах?

Необходимое и достаточное условие, чтобы уравнение P(x;y)+Q(x;y)=0 являлось уравнением в полных дифференциалах: 

    \[\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}.\]

Таким образом, решение дифференциального уравнения начинается с проверки выполнения данного необходимого и достаточного условия. Если это условие выполнено, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для его дальнейшего решения составим план.

План решения уравнения в полных дифференциалах

1) Интегрируем по x равенство

    \[\frac{{\partial U}}{{\partial x}} = P(x;y).\]

Отсюда найдем функцию U(x;y) с точностью до некоторой дифференцируемой функции φ(y):

    \[U(x;y) = \int {P(x;y)dx = F(x;y) + \varphi (y),} \]

где F(x;y) — первообразная функции P(x;y) по x. (При интегрировании функции F(x;y) по x считаем y константой).

2) Полученное равенство дифференцируем по y:

    \[\frac{{\partial U}}{{\partial y}} = (F(x;y) + \varphi (y))',\]

Теперь вспомним, что

    \[\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = P(x;y);\frac{{\partial U}}{{\partial y}} = Q(x;y)\]

и имеем равенство:

    \[Q(x;y) = P(x;y) + \varphi '(y).\]

Отсюда находим неизвестную функцию φ(y)

    \[\varphi '(y) = Q(x;y) - P(x;y), \Rightarrow \varphi (y) = \int {(Q(x;y) - P(x;y)} )dy.\]

(Замечание. Равенство

    \[\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = P(x;y)\]

лучше проверить.  То есть не заменяем производную F(x;y) по x на P(x;y), а находим эту производную и сравниваем с P(x;y). Если ответы совпали — мы проинтегрировали и продифференцировали правильно, если нет — надо искать ошибку).

3) В равенство

    \[U(x;y) = F(x;y) + \varphi (y)\]

подставляем найденное для φ(y) выражение. Отсюда получаем полный ответ для U(x;y)=C.

Теперь рассмотрим решение уравнений в полных интегралах на примерах.

Замечание. Рассмотренный способ для решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах используется чаще. Но есть еще и второй способ. Его мы рассмотрим позже.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>