Дифференциальное уравнение P(x;y)+Q(x;y)=0 — уравнение в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом от некоторой функции U(x;y), то есть P(x;y)+Q(x;y)=dU(x;y). В этом случае уравнение можно рассматривать как dU(x;y)=0, а значит, общий интеграл уравнения имеет вид U(x;y)=C, где C — const. Как определить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах?
Необходимое и достаточное условие, чтобы уравнение P(x;y)+Q(x;y)=0 являлось уравнением в полных дифференциалах:
Таким образом, решение дифференциального уравнения начинается с проверки выполнения данного необходимого и достаточного условия. Если это условие выполнено, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для его дальнейшего решения составим план.
План решения уравнения в полных дифференциалах
1) Интегрируем по x равенство
Отсюда найдем функцию U(x;y) с точностью до некоторой дифференцируемой функции φ(y):
где F(x;y) — первообразная функции P(x;y) по x. (При интегрировании функции F(x;y) по x считаем y константой).
2) Полученное равенство дифференцируем по y:
Теперь вспомним, что
и имеем равенство:
Отсюда находим неизвестную функцию φ(y)
(Замечание. Равенство
лучше проверить. То есть не заменяем производную F(x;y) по x на P(x;y), а находим эту производную и сравниваем с P(x;y). Если ответы совпали — мы проинтегрировали и продифференцировали правильно, если нет — надо искать ошибку).
3) В равенство
подставляем найденное для φ(y) выражение. Отсюда получаем полный ответ для U(x;y)=C.
Теперь рассмотрим решение уравнений в полных интегралах на примерах.
Замечание. Рассмотренный способ для решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах используется чаще. Но есть еще и второй способ. Его мы рассмотрим позже.