Примеры на метод вариации произвольной постоянной

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это  — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x),  — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0:  y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в примерах решения линейных дифференциальных уравнений методом Бернулли, сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).

y’+y/x=3x       (I).   Теперь действуем по плану.

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:

    \[\int {\frac{{dy}}{y}}  =  - \int {\frac{{dx}}{x}} , \Rightarrow \ln \left| y \right| =  - \ln \left| x \right| + \ln \left| C \right|, \Rightarrow \ln \left| y \right| = \ln \left| {\frac{C}{x}} \right|, \Rightarrow y = \frac{C}{x}.\]

2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда

    \[y = \frac{{C(x)}}{x},y' = \frac{{C'(x)x - C(x)x'}}{{{x^2}}} = \frac{{C'(x) \cdot x - C(x)}}{{{x^2}}}.\]

Полученные выражения подставляем в условие (I):

    \[\frac{{C'(x) \cdot x - C(x)}}{{{x^2}}} + \frac{{C(x)}}{{{x^2}}} = 3x, \Rightarrow \frac{{C'(x) \cdot x - C(x) + C(x)}}{{{x^2}}} = 3x,\]

    \[\frac{{C'(x) \cdot x}}{{{x^2}}} = 3x, \Rightarrow \frac{{C'(x)}}{x} = 3x, \Rightarrow C'(x) = 3{x^2}.\]

Интегрируем обе части уравнения:

    \[\int {C'(x)dx = \int {3{x^2}dx, \Rightarrow C(x) = {x^3}} }  + C,\]

здесь С — уже некоторая новая константа.

3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть  y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.

1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0:   dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:

    \[\int {\frac{{dy}}{y}}  =  - \int {dx, \Rightarrow \ln \left| y \right|}  =  - x + C, \Rightarrow y = {e^{ - x + C}} = {e^{ - x}} \cdot {e^C}.\]

Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:

    \[{e^{C*}} = C, \Rightarrow y = C{e^{ - x}}.\]

Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.

2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии

    \[y = C(x){e^{ - x}},\]

  

    \[y' = (C(x) \cdot {e^{ - x}})' = C'(x){e^{ - x}} + C(x)({e^{ - x}})' = {e^{ - x}}(C'(x) - C(x)).\]

Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:

    \[{e^{ - x}}C'(x) - {e^{ - x}}C(x) + C(x){e^{ - x}} = \cos x, \Rightarrow {e^{ - x}}C'(x) = \cos x,\]

Умножим обе части уравнения на

    \[{e^x}\]

    \[C'(x) = {e^x} \cdot \cos x.\]

Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:

    \[\int {C'(x)dx = \int {{e^x} \cdot \cos xdx = \frac{{{e^x}}}{2}} } (\sin x + \cos x) + C.\]

Здесь С уже не функция, а обычная константа.

3) В общее решение однородного уравнения

    \[y = C(x){e^{ - x}}\]

подставляем найденную функцию С(x):

    \[y = (\frac{{{e^x}}}{2}(\sin x + \cos x) + C){e^{ - x}} = \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) + C{e^{ - x}}.\]

Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Ответ:

    \[y = \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) + C{e^{ - x}}.\]

 

Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения уравнений Бернулли.

 y’x+y=-xy².

Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y²    (II).

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:

    \[\int {\frac{{dy}}{y}}  =  - \int {\frac{{dx}}{x}} , \Rightarrow \ln \left| y \right| =  - \ln \left| x \right| + \ln \left| C \right|, \Rightarrow y = \frac{C}{x}.\]

2) В полученном общем решении будем считать С не константой, а некоторой функций от x. При этом условии

    \[y = \frac{{C(x)}}{x},y' = \frac{{C'(x) \cdot x - C(x) \cdot x'}}{{{x^2}}} = \frac{{C'(x) \cdot x - C(x)}}{{{x^2}}}.\]

Подставляем полученные выражения в условие (II):

    \[\frac{{C'(x) \cdot x - C(x) + C(x)}}{{{x^2}}} =  - \frac{{{C^2}(x)}}{{{x^2}}}, \Rightarrow \frac{{C'(x) \cdot x}}{{{x^2}}} =  - \frac{{{C^2}(x)}}{{{x^2}}},\]

Упрощаем:

    \[C'(x) =  - \frac{{{C^2}(x)}}{x}.\]

Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:

    \[\frac{{dC}}{{dx}} =  - \frac{{{C^2}}}{x}, \Rightarrow  - \frac{{dC}}{{{C^2}}} = \frac{{dx}}{x}, \Rightarrow \]

    \[ - \int {\frac{{dC}}{{{C^2}}}}  = \int {\frac{{dx}}{x}, \Rightarrow \frac{1}{{C(x)}}}  = \ln \left| x \right| + C.\]

    \[C(x) = \frac{1}{{\ln \left| x \right| + C}}.\]

Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.

3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):

    \[y = \frac{{\frac{1}{{\ln \left| x \right| + C}}}}{x} = \frac{1}{{x(\ln \left| x \right| + C)}}.\]

Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.

Ответ:

    \[y = \frac{1}{{x(\ln \left| x \right| + C)}}.\]

Примеры для самопроверки:

1. y’=x+2y

    \[2.xy' + 2y = {x^5}{y^2}.\]

Показать решение

 

 

4 Comments

  1. Aizhana:

    спасибо большооое, очень все понятно, мне хорошо помогло:)

    1. admin:

      Спасибо большое за теплые слова! Удачи Вам в дальнейшем изучении математики!

  2. Марина:

    Спасибо, очень доходчиво, пропустила лекцию и разобралась :)

    1. admin:

      Пожалуйста!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *