Следствия из первого замечательного предела

Чаще всего рассматривают следующие следствия из первого замечательного предела:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tgx}}{x} = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{x} = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{arc} tgx}}{x} = 1.\]

Рассмотрим примеры на следствия из первого замечательного предела.

Найти предел функции:

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{arc} tg5x}}{{\sin 9x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\operatorname{arc} tg5x}}{{5x}} \cdot 5x}}{{\frac{{\sin 9x}}{{9x}} \cdot 9x}} = \frac{{1 \cdot 5}}{{1 \cdot 9}} = \frac{5}{9}.\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tgx - \sin x}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x(\frac{1}{{\cos x}} - 1)}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x(1 - \cos x)}}{{{x^3} \cdot \cos x}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x \cdot 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{x^3} \cdot \cos x}} = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{x} \cdot x \cdot {{(\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}})}^2} \cdot \frac{{{x^2}}}{4}}}{{{x^3} \cdot \cos x}} = \]

    \[ = 2 \cdot \frac{1}{4}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{x} \cdot {{(\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}})}^2}}}{{\cos x}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 \cdot {1^2}}}{{\cos 0}} = \frac{1}{2} \cdot \]

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - {{\cos }^3}x}}{{x \cdot arctgx}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x(1 - {{\cos }^2}x)}}{{x \cdot arctgx}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x \cdot {{\sin }^2}x}}{{x \cdot arctgx}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x \cdot {{(\frac{{\sin x}}{x})}^2} \cdot {x^2}}}{{x \cdot \frac{{arctgx}}{x} \cdot x}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x \cdot {{(\frac{{\sin x}}{x})}^2}}}{{\frac{{arctgx}}{x}}} = \frac{{\cos 0 \cdot {1^2}}}{1} = 1.\]

    \[4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos ax - \cos bx}}{{x \cdot tgx}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2\sin \frac{{(a - b)x}}{2}\sin \frac{{(a + b)x}}{2}}}{{x \cdot tgx}} = \]

    \[ = \mathop { - 2\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin \frac{{(a - b)x}}{2}}}{{\frac{{(a - b)x}}{2}}} \cdot \frac{{(a - b)x}}{2} \cdot \frac{{\sin \frac{{(a + b)x}}{2}}}{{\frac{{(a + b)x}}{2}}} \cdot \frac{{(a + b)x}}{2}}}{{x \cdot \frac{{tgx}}{x} \cdot x}} = \]

    \[ = \mathop { - 2\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin \frac{{(a - b)x}}{2}}}{{\frac{{(a - b)x}}{2}}} \cdot \frac{{(a - b)}}{2} \cdot \frac{{\sin \frac{{(a + b)x}}{2}}}{{\frac{{(a + b)x}}{2}}} \cdot \frac{{(a + b)}}{2}}}{{\frac{{tgx}}{x}}} = \]

    \[ =  - 2 \cdot \frac{{1 \cdot \frac{{a - b}}{2} \cdot \frac{{a + b}}{2}}}{1} =  - \frac{{{a^2} - {b^2}}}{2} = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{2}.\]

20 Comments

  1. Сергей:

    Спасибо.
    cos(a)x-cos(b)x
    это то что я давно искал.

    1. admin:

      Я рада, что пригодился материал. Успехов Вам в учебе!

  2. тимур:

    спасибо вам огромное , за ваш труд . я был бы давно в армии если б не вы)

    1. admin:

      Пожалуйста! Желаю дальнейших успехов! Надеюсь, Вы также научитесь получать удовольствие от решения математических задач :)

  3. ИВАН:

    здравствуйте возникли трудности при решении предела 10x^2/(1-cosx) без использования диффренциального исчисления, помогите пожалуйста.

  4. ИВАН:

    Большое спасибо, вы мне очень помогли

  5. ИВАН:

    Здравствуйте, помогите пожалуйста решить предел функции ((2x+3)/(2x+1))^(x+1) x стремится к бесконечности, заранее вам благодарен.

    1. admin:

      Это — пример на второй замечательный предел.

          \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x + 3}}{{2x + 1}})^{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x + 1 + 2}}{{2x + 1}})^{x + 1}} = \]

          \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{2}{{2x + 1}})^{x + 1}} = \]

          \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {({(1 + \frac{2}{{2x + 1}})^{\frac{{2x + 1}}{2}}})^{\frac{{2(x + 1)}}{{2x + 1}}}} = \]

          \[ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2(x + 1)}}{{2x + 1}}}} = {e^1} = e.\]

  6. ИВАН:

    Спасибо!

  7. ИВАН:

    Спасибо, я без вас не решил бы!

    1. admin:

      Иван, во всем можно разобраться, было бы желание и время. И лучше это делать заранее, а не в ночь перед экзаменом :).

  8. Андрей:

    Здравствуйте, помогите пожалуйста решить предел функции с помощью правила Лопиталя tg(pi*x)/(x-4) x стремится к 4

    1. admin:

          \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{tg(\pi x)}}{{x - 4}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{{(tg(\pi x))}^'}}}{{{{(x - 4)}^'}}} = \]

          \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}(\pi x)}} \cdot {{(\pi x)}^'}}}{1} = \]

          \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{\pi }{{{{\cos }^2}(\pi x)}} = \left[ {\frac{\pi }{0}} \right] = \infty .\]

  9. Андрей:

    Спасибо большое!

  10. Иван:

    помогите пожалуйста вычислить предел (1-x^2)^1/2 xстремится к -1

    1. admin:

      Неопределенности здесь нет, просто подставляем x=-1 и вычисляем.

  11. Иван:

    спасибо

  12. Елена:

    Помогите пожалуйста решить при помощи первого замечательного предела: sinx*cosx/7x, при х стремящемся к 0.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>