2 замечательный предел

2 замечательный предел:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{1}{x})^x} = e\]

где

    \[e \approx 2,72\]

— иррациональное число. 2й замечательный предел можно применять и для нахождения пределов вида

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{1}{{f(x)}})^{f(x)}} = e,\]

при условии, что f(x)→∞.

2 замечательный предел, как правило, применяют  в тех случаях, когда нужно найти предел степени с переменной  в показателе. Рассмотрим примеры на второй замечательный предел.

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 - \frac{1}{{2x + 3}})^{5 - 4x}} = \left[ {{1^\infty }} \right] = ?\]

Чтобы раскрыть неопределенность единица в степени бесконечность, используем 2 замечательный предел. Для этого минус уберем в знаменатель и воспользуемся рассуждениями:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{1}{{f(x)}})^{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{(1 + \frac{1}{{f(x)}})}^{f(x)}}} \right]^{\frac{1}{{f(x)}} \cdot g(x)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{g(x)}}{{f(x)}}}}\]

Итак, имеем:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 - \frac{1}{{2x + 3}})^{5 - 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {({(1 + \frac{1}{{ - (2x + 3)}})^{ - (2x + 3)}})^{^{\frac{1}{{ - (2x + 3)}} \cdot  \cdot (5 - 4x)}}} = \]

    \[ = {e^{ - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5 - 4x}}{{2x + 3}}}} = {e^{ - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{5}{x} - 4}}{{2 + \frac{3}{x}}}}} = {e^{ - \frac{{ - 4}}{2}}} = {e^2}.\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x + 1}}{{2x - 5}})^{4x - 7}} = {\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]^\infty } = ?\]

2й замечательный предел раскрывает неопределенность вида единица в степени бесконечность. Значит, неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность необходимо привести к такому виду. Рассуждаем так:

    \[\frac{{kx + b}}{{kx + c}} = \frac{{kx + c - c + b}}{{kx + c}} = \frac{{kx + c}}{{kx + c}} + \frac{{ - c + b}}{{kx + c}} = 1 + \frac{{ - c + b}}{{kx + c}}.\]

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x + 1}}{{2x - 5}})^{4x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x - 5 + 5 + 1}}{{2x - 5}})^{4x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{6}{{2x - 5}})^{4x - 7}} = \]

получили неопределенность единица в степени бесконечность, и теперь можем применить второй замечательный предел:

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {{{(1 + \frac{1}{{\frac{{2x - 5}}{6}}})}^{\frac{{2x - 5}}{6}}}} \right]^{\frac{6}{{2x - 5}} \cdot (4x - 7)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{24x - 42}}{{2x - 5}}}} = \]

    \[ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{24 - \frac{{42}}{x}}}{{2 - \frac{5}{x}}}}} = {e^{\frac{{24}}{2}}} = {e^{12}}.\]

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{{x^2} + 3x - 7}}{{{x^2} - 5x + 2}})^{4 - {x^2}}} = {\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]^\infty } = ?\]

Рассуждаем аналогично: чтобы раскрыть неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность, нужно привести выражение к виду единица в степени бесконечность и затем применить второй 2 замечательный предел:

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{{x^2} - 5x + 2 + 5x - 2 + 3x - 7}}{{{x^2} - 5x + 2}})^{^{4 - {x^2}}}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {1 + \frac{{8x - 9}}{{{x^2} - 5x + 2}}} \right]^{^{4 - {x^2}}}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {{{\left[ {1 + \frac{1}{{\frac{{{x^2} - 5x + 2}}{{8x - 9}}}}} \right]}^{\frac{{{x^2} - 5x + 2}}{{8x - 9}}}}} \right)^{\frac{{(8x - 9)(4 - {x^2})}}{{{x^2} - 5x + 2}}}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {{{\left[ {1 + \frac{1}{{\frac{{{x^2} - 5x + 2}}{{8x - 9}}}}} \right]}^{\frac{{{x^2} - 5x + 2}}{{8x - 9}}}}} \right)^{\frac{{(8x - 9)(4 - {x^2})}}{{{x^2} - 5x + 2}}}} = \]

    \[ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x(8 - \frac{9}{x}) \cdot {x^2}(\frac{4}{{{x^2}}} - 1)}}{{{x^2}(1 - \frac{5}{x} + \frac{2}{{{x^2}}})}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x(8 - \frac{9}{x})(\frac{4}{{{x^2}}} - 1)}}{{1 - \frac{5}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}}}} = \]

    \[ = \left[ {{e^{\frac{{\infty  \cdot 8 \cdot ( - 1)}}{1}}}} \right] =  = {e^{ - \infty }} = \frac{1}{{{e^\infty }}} = 0.\]

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>