Число в степени бесконечность

Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется непосредственно.Поскольку показательная функция

    \[y = {a^x}\]

при а>1 возрастает, то для таких а 

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {a^x} = {a^\infty } = \infty .\]

При 0<а<1 показательная функция убывает, поэтому в этом случае ее значение на бесконечности стремится к нулю :

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {a^x} = {a^\infty } = 0\]

Соответственно, применение второго замечательного предела здесь не требуется. Используем следующее свойство пределов:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f(x)} \right]^{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f(x)} \right]^{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)}}\]

при условии, что эти пределы существуют.

Рассмотрим примеры, в которых нужно найти число в степени бесконечность.

Найти пределы функций:

1)

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}})^{4x + 8}} = {\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]^\infty } = ?\]

Получили неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность.

Найдем пределы основания и показателя степени. (Как находить предел бесконечность на бесконечность, уже рассматривали ранее. Делим и числитель, и знаменатель на старшую степень икса, в данном случае — на x.)

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x - 3}}{{5x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{5 + \frac{1}{x}}} = \frac{2}{5},\]

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (4x - 8) = \infty .\]

Таким образом, приходим к выводу, что

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}})^{4x + 8}} = {\left[ {\frac{2}{5}} \right]^\infty } = 0.\]

2) Вычислить предел функции:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{3{x^2} - 7}}{{2{x^2} + 5}})^{4{x^2} - 1}} = {\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]^\infty } = ?\]

Рассуждаем аналогично. При нахождении предела основания степени делим многочлены в числителе и знаменателе на старшую степень икса, то есть на x²:

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {\frac{{3 - \frac{7}{{{x^2}}}}}{{2 + \frac{5}{{{x^2}}}}}} \right]^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (4{x^2} - 1)}} = {\left[ {\frac{3}{2}} \right]^\infty } = \infty .\]

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>