Математика

примеры с решениями

Пределы тригонометрических функций

Пределы тригонометрических функций чаще всего находятся с помощью 1-го замечательного предела и следствий из него. Проиллюстрируем  решение пределов тригонометрических функций на  конкретных примерах. Сам 1й замечательный предел 

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\]

и одно из его следствий (есть и другие, но о них — позже):

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tgx}}{x} = 1\]

(Здесь угол x выражен в радианах).  Итак, примеры на пределы тригонометрических функций, которые решаются через 1й замечательный предел.

Найти пределы:

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (10x)}}{{3x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = ?\]

чтобы раскрыть неопределенность вида ноль на ноль, используем 1й замечательный предел:

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin (10x)}}{{10x}} \cdot 10x}}{{3x}} = \]

Сокращаем числитель и знаменатель на x:

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin (10x)}}{{10x}} \cdot 10}}{3} = \]

Так как по 1-му замечательному пределу

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (10x)}}{{10x}} = 1,\]

окончательно получаем, что

    \[ = \frac{{1 \cdot 10}}{3} = \frac{{10}}{3}.\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}5x}}{{7{x^2}}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(\frac{{\sin 5x}}{{5x}})}^2} \cdot 25{x^2}}}{{7{x^2}}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(\frac{{\sin 5x}}{{5x}})}^2} \cdot 25}}{7} = \frac{{{1^2} \cdot 25}}{7} = \frac{{25}}{7}.\]

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tg(9x)}}{{\sin (15x)}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{tg(9x)}}{{9x}} \cdot 9x}}{{\frac{{\sin (15x)}}{{15x}} \cdot 15x}} = \frac{{1 \cdot 9}}{{1 \cdot 15}} = \frac{3}{5}.\]

Решение пределов тригонометрических функций зачастую требует привлечения тригонометрических формул. Например, из тригонометрической единицы следует, что

    \[1 - {\cos ^2}\alpha = {\sin ^2}\alpha \]

    \[4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - {{\cos }^2}4x}}{{3x \cdot tg5x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}4x}}{{3x \cdot tg5x}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(\frac{{\sin 4x}}{{4x}})}^2} \cdot 16{x^2}}}{{3x \cdot \frac{{tg5x}}{{5x}} \cdot 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(\frac{{\sin 4x}}{{4x}})}^2} \cdot 16}}{{3 \cdot \frac{{tg5x}}{{5x}} \cdot 5}} = \frac{{16}}{{15}}.\]

    \[5)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6{x^2}}}{{1 - \cos 10x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \]

используем формулу

    \[1 - \cos \alpha = 2{\sin ^2}\frac{\alpha }{2}\]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6{x^2}}}{{2{{\sin }^2}5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3{x^2}}}{{{{(\frac{{\sin 5x}}{{5x}})}^2} \cdot 25{x^2}}} = \frac{3}{{25}}.\]

В следующем пункте пределы тригонометрических функций будем находить с помощью следствий из 1-го замечательного предела.

20 Comments

  1. Емельянова Сана:
    13.11.2012 в 8:23 пп

    Спасибо за примеры. Очень интересный метод решения!

    Ответить
    1. admin:
      22.11.2012 в 11:35 пп

      Спасибо! Я рада, что Вам информация пригодилась.

      Ответить
  2. Катя:
    26.11.2014 в 2:14 пп

    Информация полезная, спасибо.
    подскажите, какую формулу применяли, например, в 5 примере, чтобы из sin в квадрате 5Х получить в след. действии квадраты?

    Ответить
    1. admin:
      26.11.2014 в 10:43 пп

      Катя, формула применялась, чтобы перейти от разности 1-cosα к синусу:

          \[1 - \cos \alpha = 2{\sin ^2}\frac{\alpha }{2},\]

      α=10x,следовательно,

          \[1 - \cos 10x = 2{\sin ^2}\frac{{10x}}{2} = 2{\sin ^2}5x.\]

      sin²5x=(sin5x)². Чтобы применить первый замечательный предел, нужно, чтобы в знаменателе стояло такое же выражение, что и под знаком синуса. Поэтому делим sin5x на 5x. Но, поскольку все это еще возводится в квадрат, фактически мы разделили на (5x)²=25x². Значит, чтобы выражение не изменилось, его надо домножить на 25x².

          \[{\sin ^2}5x = {(\sin 5x)^2} = {(\frac{{\sin 5x}}{{5x}})^2} \cdot {(5x)^2}.\]

      Ответить
  3. Наталья:
    14.12.2014 в 10:57 дп

    Здравствуйте. Примеры замечательные, но к примеру, если х->1 вариантов нету. Не могли бы вы дать хотя бы 1 пример. lim при x->1 (sin7Пx)/(ln(2-x) не могу не как додуматься.

    Ответить
    1. admin:
      18.12.2014 в 12:01 дп

      В этом случае нужно сделать замену переменной, чтобы при x стремящемся к 1 новая переменная стремилась к 0.

          \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin 7\pi x}}{{\ln (2 - x)}} = \]

      Пусть t=1-x. При x стремящемся к 1 t стремится к нулю. Отсюда x=1-t. Имеем:

          \[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin 7\pi (1 - t)}}{{\ln (2 - (1 - t))}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin (7\pi - 7\pi t)}}{{\ln (1 + t)}} \]

          \[\sin (7\pi - 7\pi t) = \sin (6\pi + \pi - 7\pi t) = \]

          \[ = \sin (\pi - 7\pi t) = \sin (7\pi t).\]

          \[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin (7\pi t)}}{{\ln (1 + t)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin \frac{{7\pi t}}{{7\pi t}} \cdot 7\pi t}}{{\frac{{\ln (1 + t)}}{t}}} = \]

          \[ = \frac{{1 \cdot 7\pi \cdot 0}}{1} = 0.\]

      Ответить
  4. maga:
    20.01.2015 в 3:22 пп

    помогите вы числить:$\frac{2^{tg\left(3x\right)}-1}{\arcsin \left(5x\right)}$

    Ответить
    1. admin:
      07.12.2015 в 8:36 дп

      Так как по следствию из второго замечательного предела [mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{a^x} — 1}}{x} = ln a,][mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{2^{tgleft( {3x} right)}} — 1}}{{arcsin left( {5x} right)}} = ][ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{2^{tgleft( {3x} right)}} — 1}}{{tg(3x)}} cdot frac{{tg(3x)}}{{3x}} cdot 3x}}{{frac{{arcsin left( {5x} right)}}{{5x}} cdot 5x}} = ][ = left[ {ln (tg0) cdot frac{3}{5}} right] = — infty .]

      Ответить
  5. Дмитрий:
    08.10.2015 в 1:37 дп

    Lim[х->0]tg^2 3x/sin2x=? Помогите, если не трудно.

    Ответить
    1. admin:
      08.10.2015 в 9:51 дп

          \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{t{g^2}(3x)}}{{sin(2x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(\frac{{tg(3x)}}{{3x}})}^2} \cdot 9{x^2}}}{{\frac{{sin(2x)}}{{2x}} \cdot 2x}} = \]

          \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(\frac{{tg(3x)}}{{3x}})}^2} \cdot 9x}}{{\frac{{sin(2x)}}{{2x}} \cdot 2}} = \frac{{{1^2} \cdot 9 \cdot 0}}{{1 \cdot 2}} = 0.\]

      Ответить
  6. Игорь:
    01.11.2015 в 2:34 пп

    lim[x->0]tg^2(x/2)/x^2
    помогите, пожалуйста, заранее благодарен

    Ответить
    1. admin:
      02.11.2015 в 6:32 пп

          \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{t{g^2}\frac{x}{2}}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(\frac{{tg\frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}})}^2} \cdot \frac{{{x^2}}}{4}}}{{{x^2}}} = \]

          \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(\frac{{tg\frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}})}^2} \cdot \frac{1}{4}}}{1} = {1^2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.\]

      Ответить
  7. Игорь:
    21.11.2015 в 9:56 пп

    здравствуйте! помогите пожалуйстаlim((9+x)^(1/2)-3)/(1-cos5x),x->0, ничего путевого в голову не приходит, заранее благодарен.

    Ответить
    1. admin:
      07.12.2015 в 8:49 дп

      Чтобы избавиться от неопределенности в числителе, домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное числителю:

          \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {9 + x} - 3}}{{1 - cos5x}} = \]

          \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\sqrt {9 + x} - 3) \cdot (\sqrt {9 + x} + 3)}}{{(1 - cos5x)(\sqrt {9 + x} + 3)}} = \]

          \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(\sqrt {9 + x} )}^2} - {3^2}}}{{(1 - cos5x)(\sqrt {9 + x} + 3)}} = \]

      и воспользуемся формулой

          \[1 - \cos \alpha = 2{\sin ^2}\frac{\alpha }{2}\]

          \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{9 + x - 9}}{{2{{\sin }^2}\frac{{5x}}{2} \cdot (\sqrt {9 + x} + 3)}} = \]

          \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{2 \cdot {{(\frac{{\sin \frac{{5x}}{2}}}{{\frac{{5x}}{2}}})}^2} \cdot \frac{{25{x^2}}}{4} \cdot (\sqrt {9 + x} + 3)}} = \]

          \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{{{(\frac{{\sin \frac{{5x}}{2}}}{{\frac{{5x}}{2}}})}^2} \cdot 25x \cdot (\sqrt {9 + x} + 3)}} = \]

          \[ = \left[ {\frac{2}{{{1^2} \cdot 0 \cdot 6}}} \right] = \infty .\]

      Ответить
  8. Annay:
    05.12.2015 в 10:12 пп

    помогите решить, пожалуйста : lim{x->pi/4} (1+sin2x)/(1-cos4x)

    Ответить
    1. admin:
      07.12.2015 в 8:58 дп

      [mathop {lim }limits_{x to frac{pi }{4}} frac{{1 + sin 2x}}{{1 — cos 4x}} = frac{{1 + sin frac{{2pi }}{4}}}{{1 — cos frac{{4pi }}{4}}} = frac{2}{2} = 1.]

      Ответить
  9. Толя:
    16.12.2018 в 6:28 пп

    Здравствуйте! Пожалуйста помогите с примером lim┬(x→0)⁡〖3xtg2x/(〖sin〗^2 3x)〗 у меня получилась дробь 2/9. Пробовал tg представить в виде дроби sin/cos полный тупик.

    Ответить
    1. admin:
      16.12.2018 в 7:37 пп

      2/9 — правильный ответ.

          \[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x \cdot tg2x}}{{\sin ^2 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x \cdot \frac{{tg2x}}{{2x}} \cdot 2x}}{{(\frac{{\sin 3x}}{{3x}})^2 \cdot 9x^2 }} = \frac{2}{9}. \]

      Ответить
  10. Толя:
    17.12.2018 в 12:20 дп

    Спасибо за помощь в столь трудный час.

    Ответить
    1. admin:
      17.12.2018 в 7:57 дп

      🙂

      Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *