Примеры на неопределенность вида 0 на 0 в пределах функций

Рассмотрим примеры, в которых, чтобы найти пределы функций, надо раскрыть  неопределенность вида 0 на 0.

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3{x^2} - 12}}{{8 - {x^3}}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3({x^2} - 4)}}{{(2 - x)(4 + 2x + {x^2})}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3(x - 2)(x + 2)}}{{ - (x - 2)(4 + 2x + {x^2})}} =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3(x + 2)}}{{4 + 2x + {x^2}}} = \]

    \[ =  - \frac{{3(2 + 2)}}{{4 + 4 + 4}} =  - 1\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \frac{{3{x^2} - 7x + 2}}{{6x - 2}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \frac{{3(x - \frac{1}{3})(x - 2)}}{{2(3x - 1)}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \frac{{(3x - 1)(x - 2)}}{{2(3x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \frac{{x - 2}}{2} = \frac{{\frac{1}{3} - 2}}{2} =  - \frac{5}{6}\]

    \[3{x^2} - 7x + 2 = 0;{x_1} = \frac{1}{3},{x_2} = 2;\]

    \[ \to 3{x^2} - 7x + 2 = 3(x - \frac{1}{3})(x - 2)\]

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^3} + 3x + 4}}{{{x^2} - x - 2}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{({x^3} + 1) + (3x + 3)}}{{(x - 2)(x + 1)}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{(x + 1)({x^2} - x + 1) + 3(x + 1)}}{{(x - 2)x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{(x + 1)({x^2} - x + 4)}}{{(x - 2)(x + 1)}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} - x + 4}}{{x - 2}} = \frac{{1 + 1 + 4}}{{ - 1 - 2}} =  - 2\]

    \[4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}  = \frac{{4{x^2} - 5x + 1}}{{3{x^2} - x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4(x - 1)(x - \frac{1}{4})}}{{3(x - 1)(x + \frac{2}{3})}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4x - 1}}{{3x + 2}} = \frac{{4 - 1}}{{3 + 2}} = \frac{3}{5}\]

Примеры для самопроверки:

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2{x^2} - 5x - 3}}{{{x^2} - 5x + 6}};\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{9{x^2} + 17x - 2}}{{{x^2} + 2x}};\]

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^3} - 64}}{{{x^2} + 3x - 28}}.\]

Показать решение

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>