Найти пределы с корнями

Рассмотрим примеры на пределы с корнями, в которых требуется раскрыть неопределенность вида 0 на 0.

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} \frac{{64 + {x^3}}}{{\sqrt {x + 20}  - 4}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \]

Чтобы раскрыть неопределенность 0/0, числитель разложим на множители по формуле суммы кубов, затем и числитель, и знаменатель, домножим на выражение, сопряженное знаменателю (чтобы в знаменателе получить формулу разности квадратов, что позволит нам избавиться от квадратного корня):

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} \frac{{(4 + x)(16 - 4x + {x^2})(\sqrt {x + 20}  + 4)}}{{(\sqrt {x + 20}  - 4)(\sqrt {x + 20}  + 4)}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} \frac{{(4 + x)(16 - 4x + {x^2})(\sqrt {x + 20}  + 4)}}{{{{(\sqrt {x + 20} )}^2} - {4^2}}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} \frac{{(4 + x)(16 - 4x + {x^2})(\sqrt {x + 20}  + 4)}}{{x + 4}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} (16 - 4x + {x^2})(\sqrt {x + 20}  + 4) = \]

    \[ = (16 + 16 + 16)(\sqrt {-4 + 20}  + 4) = 384\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 3}}{{2{x^2} + 3x - 5}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \]

И числитель, и знаменатель умножаем на выражение, сопряженное знаменателю. Знаменатель раскладываем по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители:

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(\sqrt {x + 8}  - 3)(\sqrt {x + 8}  + 3)}}{{2(x - 1)(x + \frac{5}{2})(\sqrt {x + 8}  + 3)}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{2(x - 1)(x + \frac{5}{2})(\sqrt {x + 8}  + 3)}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{(2x + 5)(\sqrt {x + 8}  + 3)}} = \frac{1}{{(2 + 5)(\sqrt {1 + 8}  + 3)}} = \frac{1}{{42}}.\]

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {2x} }} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \]

Домножаем и числитель, и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю. То есть

    \[(\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1) = {(\sqrt[3]{x})^3} - {1^3} = x - 1\]

    \[(\sqrt {x + 1}  - \sqrt {2x} )(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {2x} ) = \]

    \[ = {(\sqrt {x + 1} )^2} - {(\sqrt {2x} )^2} = x + 1 - 2x = 1 - x\]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {2x} )}}{{(\sqrt {x + 1}  - \sqrt {2x} )(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {2x} )(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {2x} )}}{{(1 - x)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}} =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {2x} }}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}} = \]

    \[ = \frac{{\sqrt 2  + \sqrt 2 }}{{1 + 1 + 1}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]

Примеры для самопроверки:

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 3}}{{2{x^2} + 3x - 5}};\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{{\sqrt {x + 10}  - \sqrt {4 - x} }}{{2{x^2} - x - 21}};\]

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3}  - 2}}{{\sqrt {x + 2}  - 3}}.\]

Показать решение

 

5 Comments

  1. Машенька:

    спасибо от Вас есть польза

      1. Vlad:

        Просто лучший отзыв. :)
        Как хорошо быть кому-то полезным. :D

  2. Альп:

    Большое спасибо)) Помогло) ребята если у вас есть еще проблемы на эту тему например первый замечательный предел второй замеч. предел в ютюбе есть классный канал «bezbotvy». Он супер объясняет, мне все понятно) Да и не только мне там куча положительных комментарий) Доступно объясняет) Благодаря ему и таким сайтам как http://www.matematika.uznateshe.ru/ мы не утонем в математике) Хороших преподов и статей очень мало. Не теряйте времени! Удачи всем))

  3. Альп:

    Респект этому сайту!!!)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>