Пределы на бесконечность минус бесконечность

Рассмотрим пределы  на раскрытие неопределенности бесконечность минус бесконечность на конкретных примерах.Найти предел функции:

    \[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\sqrt {x + 5}  - \sqrt x ) = \left[ {\infty  - \infty } \right] = ?\]

Чтобы найти предел, то есть раскрыть неопределенность бесконечность минус бесконечность, домножим и разделим на выражение, сопряженное данному (чтобы затем по формуле разности квадратов избавиться от квадратного корня):

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{(\sqrt {x + 5}  - \sqrt x )(\sqrt {x + 5}  + \sqrt x )}}{{\sqrt {x + 5}  + \sqrt x }} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 5 - x}}{{\sqrt {x + 5}  + \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{5}{{\sqrt {x + 5}  + \sqrt x }} = \left[ {\frac{5}{\infty }} \right] = 0.\]

    \[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  - x) = \left[ {\infty  - \infty } \right] = \]

Аналогично: умножаем и делим на выражение, сопряженное данному:

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  - x)(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  + x)}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  + x}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 4x + 3 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 4x + 3}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  + x}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x( - 4 + \frac{3}{x})}}{{x(\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}  + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 4 + \frac{3}{x}}}{{\sqrt {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}  + 1}} = \frac{{ - 4}}{2} =  - 2.\]

    \[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x + \sqrt[3]{{2 - {x^3}}}) = \left[ {\infty  - \infty } \right] = \]

Умножим и разделим на выражение, сопряженное данному. В данном примере, чтобы избавиться от кубического корня,  мы должны получить формулу суммы кубов. То есть умножаем и делим на неполный квадрат разности:

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(x + \sqrt[3]{{2 - {x^3}}})({x^2} - x\sqrt[3]{{2 - {x^3}}} + \sqrt[3]{{{{(2 - {x^3})}^2}}})}}{{{x^2} - x\sqrt[3]{{2 - {x^3}}} + \sqrt[3]{{{{(2 - {x^3})}^2}}}}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^3} + {{(\sqrt[3]{{2 - {x^3}}})}^3}}}{{{x^2} - x\sqrt[3]{{2 - {x^3}}} + \sqrt[3]{{{{(2 - {x^3})}^2}}}}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^3} + 2 - {x^3}}}{{{x^2} - x\sqrt[3]{{2 - {x^3}}} + \sqrt[3]{{{{(2 - {x^3})}^2}}}}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{2}{{{x^2} - x\sqrt[3]{{2 - {x^3}}} + \sqrt[3]{{{{(2 - {x^3})}^2}}}}} = 0.\]

В общем случае, чтобы раскрыть неопределенность вида бесконечность минус бесконечность, пробуем действовать по одной из схем:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } (\sqrt {f(x)}  - \sqrt {g(x)} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{(\sqrt {f(x)}  - \sqrt {g(x)} )(\sqrt {f(x)}  + \sqrt {g(x)} )}}{{\sqrt {f(x)}  + \sqrt {g(x)} }} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{f(x) - g(x)}}{{\sqrt {f(x)}  + \sqrt {g(x)} }}\]

или

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\sqrt[3]{f} \pm \sqrt[3]{g}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(\sqrt[3]{f} \pm \sqrt[3]{g})(\sqrt[3]{{{f^2}}} \mp \sqrt[3]{{fg}} + \sqrt[3]{{{g^2}}})}}{{\sqrt[3]{{{f^2}}} \mp \sqrt[3]{{fg}} + \sqrt[3]{{{g^2}}}}} = \]

    \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f \pm g}}{{\sqrt[3]{{{f^2}}} \mp \sqrt[3]{{fg}} + \sqrt[3]{{{g^2}}}}}.\]

One Comment

  1. dorson:

    Спасибо. Понял)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *