Примеры производных

Изучить конкретные примеры нахождения производных с подробными пояснениями — лучший способ научиться находить производную самостоятельно.

После разбора производной степени, производной суммы и разности, производной произведения, производной частного и производной сложной функции настал черед рассмотреть примеры производных, в которых используются сразу несколько правил дифференцирования.

1) y=4x²cos(11-x²).

Данная функция представляет собой  произведение функций, где u=4x², v=cos(11-x²). По правилу дифференцирования произведения:

y’=(4x²)’· cos(11-x²)+(cos(11-x²))’·4x²=

первая из функций — степенная, вторая — сложная функция, где внешняя функция f=cos u, внутренняя u=11-x². Применяя соответствующие правила, имеем:

=4·2x·cos(11-x²)+(-sin(11-x²))·(11-x²)’·4x²=8x·cos(11-x²)-sin(11-x²)·(-2x)·4x²=8x·cos(11-x²)+8x³sin(11-x²).

   

Эта функция — частное. u=2sin3x-1, v=√x. По правилу дифференцирования частного:

   

В свою очередь, числитель представляет собой разность двух функций, первая из которых, sin3x — сложная (f=sin u, u=3x, а число выносим за знак производной). Применяем правила для дифференцирования разности и сложной функции, имеем:

   

   

Теперь выражениz в числителе приводим к общему знаменателю 2√x:

   

3) y=(lnx-tg7x)³

Это — сложная функция, внешняя функция f=u³, внутренняя u=lnx-tg7x. По правилу дифференцирования сложной функции: y’=3(lnx-tg7x)²·(lnx-tg7x)’=

в свою очередь, внутренняя функция представляет собой разность двух функций, где вторая — сложная функция (f=tgu, u=7x). Применяя правила для нахождения производной разности и сложной функции, получаем:

   

   

   

   

Это — сложная функция. Внешняя функция f — корень четвертой степени из u, внутренняя u=arctg10x. Преобразуем корень четвертой степени в степень с дробным показателем, затем дифференцируем:

   

   

В свою очередь, arctg10x — также сложная функция. Здесь внешняя функция f=arctgu, внутренняя u=10x:

   

Степень с дробным отрицательным показателем нужно преобразовать:

   

   

Это — пример производной частного:

   

свою очередь, числитель представляет собой производную произведения:

   

Первый множитель, в свою очередь — сложная функция. Внешняя функция — показательная, 4 в степени u, внутренняя — u=cos8x:

   

Внешняя функция f=cos u, внутренняя u=8x:

   

   

   

Это — пример производной, где сначала нужно применить правило дифференцирования суммы:

   

Первое слагаемое — произведение функций, второе — сложная функция (f=lnu, u=cosx), третье слагаемое — также сложная функция (f- е в степени u, u=5x):

   

   

   

   

Эта функция — сложная. Однако здесь можно применить свойства логарифмов, после чего дифференцировать функцию станет гораздо проще:

   

   

   

   

Примеры производных для самопроверки:

   

   

   

   

Показать решение