Производная сложной функции. Примеры.

Мы уже рассмотрели понятие сложной функции. Следующий этап — нахождение производной. Легче всего понять, как находится производная сложной функции, рассматривая конкретные примеры.

Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f'(u)·u'(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u. На первых порах нам поможет разобраться, как находится производная сложной функции для каждой конкретной функции, следующая таблица:

$\begin{array}{*{20}{l}} {({u^n})' = n \cdot {u^{n - 1}} \cdot u'}&{({{\log }_a}u)' = \frac{1}{{u\ln a}} \cdot u'} \\ {(\sqrt u )' = \frac{1}{{2\sqrt u }} \cdot u'}&{({e^u})' = {e^u} \cdot u'} \\ {(\sin u)' = \cos u \cdot u'}&{({a^u})' = {a^u} \cdot \ln a \cdot u'} \\ {(\cos u)' = - \sin u \cdot u'}&{(\arcsin u)' = \frac{1}{{\sqrt {1 - {u^2}} }} \cdot u'} \\ {(tgu)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}u}} \cdot u'}&{(\arccos u)' = - \frac{1}{{\sqrt {1 - {u^2}} }} \cdot u'} \\ {(ctgu)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}u}} \cdot u'}&{(arctgu)' = \frac{1}{{1 + {u^2}}} \cdot u'} \\ {(\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u'}&{(arcctgu)' = - \frac{1}{{1 + {u^2}}} \cdot u'} \end{array}$

Кроме того, полезно помнить следующие формулы:

$(\frac{1}{u})' = - \frac{1}{{{u^2}}} \cdot u'$

$(\frac{1}{{{u^n}}})' = ({u^{ - n}})' = - n \cdot {u^{ - n - 1}} \cdot u' = - \frac{{n \cdot u'}}{{{u^{n + 1}}}}$

$(\sqrt[n]{{{u^m}}})' = ({u^{\frac{m}{n}}})' = \frac{m}{n} \cdot {u^{\frac{m}{n} - 1}} \cdot u' =$

$= \frac{m}{n} \cdot {u^{\frac{{m - n}}{n}}} \cdot u' = \frac{m}{n} \cdot \sqrt[n]{{{u^{m - n}}}} \cdot u'.$

Итак, найти производную сложной функции. Примеры.

1) y=sin(2x+3). Здесь внешняя функция синус: f=sinu, внутренняя — линейная: u=2x+3. Соответственно, производная данной сложной функции есть y’=cos(2x+3)·(2x+3)’=c0s(2x+3)·2=2c0s(2x+3).

2) y=cos(5-7x). Внешняя функция — косинус: f=cosu, внутренняя — линейная: u=5-7x. Поэтому y’=- sin(5-7x)·(5-7x)’=- sin(5-7x)·(-7)=7sin(5-7x).

$3)y = \sqrt {4{x^3} - 12x + 8.}$

$y' = \frac{1}{{2\sqrt {4{x^3} - 12x + 8} }} \cdot (4{x^3} - 12x + 8)' =$

$= \frac{{12{x^2} - 12}}{{2\sqrt {4{x^3} - 12x + 8} }} = \frac{{12{x^2} - 12}}{{2\sqrt {4{x^3} - 12x + 8} }} = \frac{{6{x^2} - 6}}{{\sqrt {4{x^3} - 12x + 8} }}.$

$4)y = \ln (5{x^7} - 3x - 11)$

$f = \ln u,u = 5{x^7} - 3x - 11, \Rightarrow$

$y' = \frac{1}{{5{x^7} - 3x - 11}} \cdot (5{x^7} - 3x - 11)' = \frac{{35{x^6} - 3}}{{5{x^7} - 3x - 11}}.$

$5)y = ctg\frac{{4x}}{{11}}$

$f = ctgu,u = \frac{{4x}}{{11}}, \Rightarrow y' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{{4x}}{{11}}}} \cdot (\frac{{4x}}{{11}})' = - \frac{4}{{11{{\sin }^2}\frac{{4x}}{{11}}}}.$

$6)y = tg(5x + \frac{\pi }{8})$

Здесь f=tgu, u=5x+π/8. π- число, значит, π/8 — тоже число, то есть (5x+π/8)’=5

$y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}(5x + \frac{\pi }{8})}} \cdot (5x + \frac{\pi }{8})' = \frac{5}{{{{\cos }^2}(5x + \frac{\pi }{8})}}.$

$7)y = {(3x - 17)^{10}}$

$f = {u^{10}},u = 3x - 17, \Rightarrow y' = 10{(3x - 17)^9} \cdot (3x - 17)' =$

$= 10{(3x - 17)^9} \cdot 3 = 30{(3x - 17)^9}.$

8) y=sin²x. Здесь f=u², u=sinx. Почему так? Но ведь sin²x=(sinx)². Полезно запомнить, что, как только появляется степень, то внешняя функция — степенная, а внутренняя — это то, что в степень возводится. Итак, производная данной сложной функции есть

y’=2·sinx·(sinx)’=2sinxcosx=sin 2x.

$9)y = arctg(7x + 1)$

$f = arctgu,u = 7x + 1, \Rightarrow y' = \frac{1}{{1 + {{(7x + 1)}^2}}} \cdot (7x + 1)' =$

$= \frac{7}{{1 + 49{x^2} + 14x + 1}} = \frac{7}{{49{x^2} + 14x + 2}}.$

$10)y = \frac{4}{{{{(5x - 6)}^7}}}$

$y = 4{(5x - 6)^{ - 7}},f = 4{u^{ - 7}},u = 5x - 6, \Rightarrow$

$y' = 4 \cdot ( - 7{(5x - 6)^{ - 7 - 1}}) \cdot (5x - 6)' =$

$= - 28{(5x - 6)^{ - 8}} \cdot 5 = - \frac{{140}}{{{{(5x - 6)}^8}}}.$

$11)y = \sqrt[4]{{{{(3 - 2x)}^3}}}$

$y = {(3 - 2x)^{\frac{3}{4}}},f = {u^{\frac{3}{4}}},u = 3 - 2x, \Rightarrow$

$y' = \frac{3}{4}{(3 - 2x)^{\frac{3}{4} - 1}} \cdot (3 - 2x)' = \frac{3}{4}{(3 - 2x)^{ - \frac{1}{4}}} \cdot ( - 2) =$

$= - \frac{3}{{2{{(3 - 2x)}^{\frac{1}{4}}}}} = - \frac{3}{{2\sqrt[4]{{3 - 2x}}}}.$

$12)y = \frac{3}{{\sqrt[7]{{{{(5x - 4)}^3}}}}}$

$y = 3{(5x - 4)^{ - \frac{3}{7}}},f = 3{u^{ - \frac{3}{7}}},u = 5x - 4, \Rightarrow$

$y' = 3 \cdot ( - \frac{3}{7}){(5x - 4)^{ - \frac{3}{7} - 1}} \cdot (5x - 4)' = - \frac{9}{7}{(5x - 4)^{ - \frac{{10}}{7}}} \cdot 5 =$

$= - \frac{{45}}{{7{{(5x - 4)}^{\frac{{10}}{7}}}}} = - \frac{{45}}{{7\sqrt[7]{{{{(5x - 4)}^{10}}}}}}.$

Найти производную сложной функции. Примеры для самопроверки.

$1)y = {(6{x^3} - 7)^4};$

$2)y = \sqrt {3{x^2} - 8x + 5} ;$

$3)y = \sin (3x - \frac{\pi }{{12}});$

$4)y = {\cos ^5}x;$

$5)y = \ln (7\sin x + 5x).$

Показать решение

13 Comments

Жобаган:

05.09.2013 в 6:03 пп

авторам данного сайта, большое спасибо! Уже понял этот урок

Ответить
wexxler:

23.09.2015 в 11:09 пп

Большое спасибо за данный ресурс. Сразу понял что к чему, без проблем решил домашнее задание!

Ответить
София:

25.12.2016 в 5:35 пп

Огромное спасибо за такое понятное и доступное объяснение! Только хотелось бы больше сложных примеров!

Ответить
AcidPro:

03.01.2017 в 6:39 пп

Авторам сайта огромное спасибо! Как раз для проверки своих знаний.

Ответить
Гульназ:

02.01.2018 в 5:31 пп

Спасиииибо большоое))

Ответить
Set:

15.03.2018 в 4:09 пп

Спасибо огромное, наконец-то хоть немного понял материал

Ответить
Николай:

12.06.2018 в 11:27 пп

Спасибо большое за задания!

Ответить
Deidara_Tsukuri:

16.09.2018 в 10:40 дп

Большое спасибо за объяснение! На уроке упустил этот момент и ничего не понял, а ваш ресурс выручил!

Ответить
Ульяна:

07.10.2018 в 12:56 пп

Осталось не понятно. какая главная функция в таком примере: y=x/5tg3x

Ответить
1. admin:
  
  07.10.2018 в 9:59 пп
  
  Ульяна, в этом примере следует искать производную частного: y’=x’∙5tg3x-(5tg3x)’∙x/(5tg3x)². А вот производную (5tg3x)’ ищем как производную сложной функции. Здесь внешняя функция f=tgu,внутренняя — u=3x. Итого,(5tg3x)’=5∙(1/cos²3x)∙(3x)’=15/cos²3x.
  
  Ответить
Ваграм:

25.05.2019 в 12:09 пп

В примере 6 ошибка. производная от тангенса — это минус отношение единицы к косинусу в квадрате, В ответе должен быть минус

Ответить
1. admin:
  
  25.05.2019 в 8:21 пп
  
  Ваграм, нет, производная от тангенса без минуса. Минус есть у производной котангенса.
  
  Ответить
Александр.:

08.09.2021 в 5:11 пп

Спасибо огромное, всё чётко и ясно! Всем бы авторам так писать статьи!
Александр.

Ответить

Производная сложной функции. Примеры.

13 Comments

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Это интересно

Навигация по сайту

Рубрики

Свежие записи

Это интересно