Умножение комплексных чисел

Как умножить комплексные числа?

Рассмотрим, как следует выполнять умножение комплексных чисел, в теории и на конкретных примерах.

Произведением комплексных чисел

   

и

   

записанными а алгебраической форме, называется комплексное число

   

На практике умножение комплексных чисел выполняют по правилу умножения двучленов, с последующей заменой i² на -1.

Примеры.

Найти произведение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:

   

   

   

   

Решение:

Перемножаем комплексные числа, как обыкновенные многочлены:

   

приводим подобные слагаемые и заменяем i² на -1:

   

   

   

   

   

   

Утверждение.

Произведение комплексно-сопряженных чисел равно квадрату модуля одного из них.

Доказательство:

   

   

   

Что и требовалось доказать.

Соответственно, чтобы умножить комплексно-сопряженные числа, пользуются правилом:

   

Например,

   

   

Умножение комплексных чисел подчиняется коммутативному (переместительному):

   

ассоциативному (сочетательному):

   

и дистрибутивному (распределительному относительно сложения)

   

законам умножения.