Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.
Определение
Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z , при умножении которого на z2 получается z1:
z=z1/z2, если z∙z2=z1 (z2≠0).
Для комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:
![\[{z_1} = a + bi\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0be6a1248adb5a41350c4cd33ec8dd44_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
и
![\[{z_2} = c + di\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61586111625657e69edfdccd14ceac62_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}}i\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96e7d60b548569b67a5fb368be750971_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
На практике частное комплексных чисел находят умножением делимого и делителя на число, комплексно-сопряженное делителю.
С помощью формулы правило деления комплексных можно записать так:
![\[\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{(a + bi) \cdot (c - di)}}{{(c + di) \cdot (c - di)}} = \frac{{ac - adi + bci - bd{i^2}}}{{{c^2} + {d^2}}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9783076bb65265edd617d5dae1c20ad8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{(ac + bd) + (bc - ad)i}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}}i\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cfbe1b4176e3957da1108d4b2c755e47_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Примеры.
Найти частное комплексных чисел:
![\[1){z_1} = 2 + 5i;{z_2} = 3 - 2i;\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28c3d16485b8b33209cf2733f2c0e9dd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2){z_1} = 23 + i;{z_2} = 2 + i;\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2261984f483be082f83549cdba147ae7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3){z_1} = 8i;{z_2} = 5i;\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8edc4dabe36167678717c1af3348c863_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[4){z_1} = 2 + 7i;{z_2} = 10.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-85cd71882f42e33be3a43ef4b0a6bad4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение:
1) Чтобы выполнить деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, и делимое, и делитель умножаем на число, комплексно-сопряженное делителю (вариант: и числитель, и знаменатель умножаем на число, сопряженное знаменателю):
![\[\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{2 + 5i}}{{3 - 2i}} = \frac{{(2 + 5i)(3 + 2i)}}{{(3 - 2i)(3 + 2i)}} = \frac{{2 \cdot 3 + 2 \cdot 2i + 5i \cdot 3 + 5i \cdot 2i}}{{{3^2} + {2^2}}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-44ccde6229d33056e8457e67f6da489c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Умножение комплексных чисел выполняем как умножение многочленов.
i² заменяем на -1.
![\[ = \frac{{6 + 4i + 15i + 10{i^2}}}{{13}} = \frac{{6 + 19i - 10}}{{13}} = \frac{{ - 4 + 19i}}{{13}} = - \frac{4}{{13}} + \frac{{19}}{{13}}i;\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1cccd2cd7d9863f4d60c16fc41be0f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2)\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{23 + i}}{{2 + i}} = \frac{{(23 + i)(2 - i)}}{{(2 + i)(2 - i)}} = \frac{{46 - 23i + 2i - {i^2}}}{{{2^2} + {1^2}}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3931b0ef992cf1c8e1f8abf14b19053_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{46 - 21i + 1}}{5} = \frac{{47 - 21i}}{5} = \frac{{47}}{5} - \frac{{21}}{5}i;\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-04350f9dbb4e11462ad9911f64c82c6a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3)\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{8i}}{{5i}} = \frac{{8i \cdot ( - 5i)}}{{5i \cdot ( - 5i)}} = \frac{{ - 40{i^2}}}{{25}} = \frac{{40}}{{25}} = \frac{8}{5};\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fe318582a3d6fc216a709fb3f1e71677_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[4)\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{2 + 7i}}{{10}} = \frac{{(2 + 7i) \cdot 10}}{{10 \cdot 10}} = \frac{{20 + 70i}}{{100}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01693beef2925bc61754605947f1a434_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{20}}{{100}} + \frac{{70}}{{100}}i = \frac{1}{5} + \frac{7}{{10}}i.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2d3a87e26d419298a4f366233ac41b3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, будет рассмотрено позже.