Решение ЛНДУ

Рассмотрим решение ЛНДУ  методом неопределенных коэффициентов,если правая часть  — произведение экспоненты и многочлена.

Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

    \[1)y'' - 6y' - 7y = 32{e^{3x}}\]

Для однородного уравнения составляем характеристическое уравнение и решаем его:

    \[y'' - 6y' - 7y = 0, \Rightarrow {k^2} - 6k - 7 = 0, \Rightarrow {k_1} = 7,{k_2} =  - 1\]

Поскольку коэффициенты k1 и k2 — действительные числа и k1≠k2, общее решение однородного дифференциального уравнения есть

    \[{y_0} = {C_1}{e^{7x}} + {C_2}{e^{ - x}}\]

Поскольку

    \[f(x) = 32{e^{3x}},P(x) = 32,a = 3,a \ne {k_1},a \ne {k_2}\]

значит, это случай Ia, поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде

    \[Y = A{e^{3x}}.\]

Найдем первую и вторую производные частного решения

    \[Y' = (A{e^{3x}})' = 3A{e^{3x}},Y'' = (Y')' = (3A{e^{3x}})' = 9A{e^{3x}}\]

Теперь подставим их в условие:

    \[9A{e^{3x}} - 6 \cdot 3A{e^{3x}} - 7 \cdot A{e^{3x}} = 32{e^{3x}}\]

Обе части уравнения разделим на e в степени 3x:

    \[9A - 6 \cdot 3A - 7 \cdot A = 32\]

Отсюда

    \[ - 16A = 32, \Rightarrow A =  - 2, \Rightarrow Y =  - 2{e^{3x}}.\]

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

    \[y = {C_1}{e^{7x}} + {C_2}{e^{ - x}} - 2{e^{3x}}.\]

    \[2)y'' - 2y' + 2y = 10{e^{2x}}\]

Находим корни характеристического уравнения:

    \[{k^2} - 2k + 2 = 0, \Rightarrow \sqrt D  = \sqrt { - 4}  = 2i, \Rightarrow \]

    \[{k_{1,2}} = 1 \pm i,\alpha  = 1,\beta  = 1\]

Корни комплексные, поэтому общее решение однородного дифференциального уравнение есть

    \[{y_o} = {e^x}({C_1}\cos x + {C_2}\sin x)\]

    \[f(x) = 10{e^{2x}}, \Rightarrow a = 2,b = 0, \Rightarrow a \ne \alpha ,b \ne \beta , \Rightarrow Y = A{e^{2x}}\]

    \[Y' = (A{e^{2x}})' = 2A{e^{2x}},Y'' = (2A{e^{2x}})' = 4A{e^{2x}}\]

Подставляем в условие:

    \[4A{e^{2x}} - 2 \cdot 2A{e^{2x}} + 2 \cdot A{e^{2x}} = 10{e^{2x}},\]

    \[ \Rightarrow 2A = 10, \Rightarrow A = 5, \Rightarrow Y = 5{e^{2x}}.\]

Решение ЛНДУ есть

    \[y = {e^x}({C_1}\cos x + {C_2}\sin x) + 5{e^{2x}}.\]

    \[3)y'' - 4y' + 4y = 8{e^{2x}}\]

Составим для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение и найдем его корни:

    \[y'' - 4y' + 4y = 0, \Rightarrow {k^2} - 4k + 4 = 0,D = 0, \Rightarrow {k_1} = {k_2} = 2\]

Поскольку корни действительные, но совпадающие, общее решение

    \[{y_o} = ({C_1} + {C_2}x){e^{2x}}.\]

    \[f(x) = 8{e^{2x}}, \Rightarrow P(x) = 8,a = 2,a = {k_1} = {k_2}, \Rightarrow Y = A{x^2}{e^{2x}}\]

    \[Y' = (A{x^2}{e^{2x}})' = 2Ax{e^{2x}} + 2A{x^2}{e^{2x}} = (2Ax + 2A{x^2}){e^{2x}}\]

    \[Y'' = ((2Ax + 2A{x^2}){e^{2x}}){e^{2x}}' = (2A + 4Ax){e^{2x}} + \]

    \[ + 2(2Ax + 2A{x^2}){e^{2x}} = (4A{x^2} + 8Ax + 2A){e^{2x}}\]

Теперь подставляем полученные выражения в условие:

    \[(4A{x^2} + 8Ax + 2A){e^{2x}} - 4 \cdot (2Ax + 2A{x^2}){e^{2x}} + \]

    \[ + 4 \cdot A{x^2}{e^{2x}} = 8{e^{2x}}\]

    \[4A{x^2} + 8Ax + 2A - 8Ax - 8A{x^2} + 4A{x^2}{e^{2x}} = 8\]

    \[2A = 8, \Rightarrow A = 4, \Rightarrow Y = 4{x^2}{e^{2x}}\]

Отсюда общее решение неоднородного уравнения

    \[y = ({C_1} + {C_2}x){e^{2x}} + 4{x^2}{e^{2x}} = ({C_1} + {C_2}x + 4{x^2}){e^{2x}}.\]

    \[4)y'' - 5y' + 6y = 18{x^2} + 12x - 29\]

Составляем для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение и решаем его:

    \[y'' - 5y' + 6y = 0, \Rightarrow {k^2} - 5k + 6 = 0, \Rightarrow {k_1} = 2,{k_2} = 3\]

Корни действительные, и 

    \[{k_1} \ne {k_2}, \Rightarrow {y_o} = {C_1}{e^{2x}} + {C_2}{e^{3x}}\]

    \[f(x) = 18{x^2} + 12x - 29, \Rightarrow P(x) = 18{x^2} + 12x - 29,\]

    \[a = 0,a \ne {k_1},a \ne {k_2}, \Rightarrow Y = A{x^2} + Bx + C\]

Теперь находим первую и вторую производные частного решения, полученные выражения подставляем в условие:

    \[Y' = (A{x^2} + Bx + C)' = 2Ax + B,Y'' = (2Ax + B)' = 2A\]

    \[2A - 5 \cdot (2Ax + B) + 6 \cdot (A{x^2} + Bx + C) = 18{x^2} + 12x - 29\]

    \[2A - 10Ax - 5B + 6A{x^2} + 6Bx + 6C = 18{x^2} + 12x - 29\]

    \[6A = 18, \Rightarrow A = 3; - 10A + 6B = 12, \Rightarrow B = 7,\]

    \[2A - 5B + 6C =  - 29, \Rightarrow C = 0\]

Отсюда получили частное решение неоднородного дифференциального уравнения:

    \[Y = 3{x^2} + 7x,\]

а общее решение ЛНДУ — сумма найденных решений:

    \[y = {C_1}{e^{2x}} + {C_2}{e^{3x}} + 3{x^2} + 7x.\]

    \[5)y'' - 7y' + 6y = 30x{e^x}\]

Составляем характеристическое уравнение для ЛОДУ:

    \[y'' - 7y' + 6y = 0, \Rightarrow {k^2} - 7k + 6 = 0, \Rightarrow {k_1} = 6,{k_2} = 1\]

Корни действительные и различные, поэтому общее решение однородного уравнения есть 

    \[{y_o} = {C_1}{e^{6x}} + {C_2}{e^x}.\]

    \[f(x) = 30x{e^x}, \Rightarrow P(x) = 30x,a = 1 = {k_2} \ne {k_1}\]

    \[ \Rightarrow Y = x(Ax + B){e^x} = (A{x^2} + Bx){e^x}\]

Находим первую и вторую производные частного решения ЛНДУ:

    \[Y' = ((A{x^2} + Bx){e^x})' = (2Ax + B){e^x} + (A{x^2} + Bx){e^x} = \]

    \[ = (2Ax + B + A{x^2} + Bx){e^x}\]

    \[Y'' = ((2Ax + B + A{x^2} + Bx){e^x})' = (2A + 2Ax + B){e^x} + \]

    \[ + (2Ax + B + A{x^2} + Bx){e^x} = \]

    \[ = (A{x^2} + 4Ax + Bx + 2A + 2B){e^x}\]

Теперь полученные выражения подставляем в условие:

    \[(A{x^2} + 4Ax + Bx + 2A + 2B){e^x} - 7 \cdot (2Ax + B + A{x^2} + \]

    \[ + Bx){e^x} + 6 \cdot (A{x^2} + Bx){e^x} = 30x{e^x}\]

    \[A{x^2} + 4Ax + Bx + 2A + 2B - 7A{x^2} - 14Ax - 7Bx - \]

    \[ - 7B + 6A{x^2} + 6Bx = 30x\]

    \[ - 10Ax = 30x, \Rightarrow A =  - 3, \Rightarrow 2A - 5B = 0, \Rightarrow B =  - \frac{6}{5}\]

    \[Y = ( - 3x - \frac{6}{5})x{e^x}.\]

Решение ЛНДУ — сумма общего решения однородного и частного — неоднородного уравнений: 

    \[y = {C_1}{e^{6x}} + {C_2}{e^x} + ( - 3x - \frac{6}{5})x{e^x} = {C_1}{e^{6x}} + {C_2}{e^x} - (3x + \frac{6}{5})x{e^x}.\]

Примеры для самопроверки.

Найти решение ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов:

    \[1)y'' + 2y' + y = 5{e^x}\]

    \[2)y'' - 6y' + 9y = {x^2}{e^{3x}}\]

    \[3)y'' + 4y' + 3y = 6x - 1\]

    \[4)y'' - y' - 2y = 3{e^{2x}}.\]

Показать решение

 

5 Comments

  1. Вася:

    Спасибо!!! Очень здорово!!!

  2. admin:

    Пожалуйста! :)

  3. Алексей:

    Добрый день, пожалуйста помогите, по условию мне даны корни характерестического уравнения и правая часть ЛНДУ с суммой многочленов и тригонометрических ф-ций просят частное решение с коэффициентами. Как их расчитать
    если самого ЛНДУ нет, только его корни?

    Заранее спасибо!

    1. admin:

      Зная корни характеристического уравнения, левую часть можно составить по теореме Виета: х1+х2=-р, х1∙х2=q. Отсюда, левая часть имеет вид [y» — py’ + qy]
      В зависимости от вида корней (и их кратности) выбираем вид частного решения, находим y’ и вторую производную, подставляем их в неоднородное уравнение и находим коэффициенты.

  4. Саша:

    Спасибо большое)))

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *