Производная обратной функции

Если y=f(x) и x=g(y) — пара взаимно обратных функций, и функция y=f(x) имеет производную f'(x), то производная обратной функции g'(x)=1/f'(x).

Таким образом, производные взаимно обратных функций — обратные величины. Формула для производной обратной функции:

    \[x{'_y} = \frac{1}{{y{'_x}}}.\]

Примеры. Найти производную обратной функции:

1) y=x²-7lnx.

Имеем:

    \[y{'_x} = ({x^2} - 7\ln x){'_x} = 2x - \frac{7}{x} = \frac{{2{x^2} - 7}}{x}\]

Отсюда

    \[x{'_y} = \frac{x}{{2{x^2} - 7}}.\]

    \[2)y = 3x + 0,3\cos x\]

    \[y{'_x} = (3x + 0,3\cos x){'_x} = 3 - 0,3\sin x = \frac{{30 - 3\sin x}}{{10}}\]

Отсюда 

    \[x{'_y} = \frac{{10}}{{30 - 3\sin x}}.\]

    \[3)y = \frac{2}{9}{x^3} + {e^{5x}}\]

Отсюда

    \[y{'_x} = (\frac{2}{9}{x^3} + {e^{5x}}){'_x} = \frac{2}{9} \cdot 3{x^2} + {e^{5x}} \cdot (5x)' = \]

    \[ = \frac{2}{3}{x^2} + 5{e^{5x}} = \frac{{2{x^2} + 15{e^{5x}}}}{3}\]

и

    \[x{'_y} = \frac{3}{{2{x^2} + 15{e^{5x}}}}.\]

Примеры для самопроверки. Найти производную обратной функции:

1) y=3x²-5x

    \[2)y = \frac{1}{3}x + {e^{\frac{x}{5}}}.\]

Показать решение

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>