Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид

    \[y'' + py' + q = 0,\]

где p и q — действительные числа. Рассмотрим на примерах, как решаются однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейного однородного однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение — это уравнение k²+pk+q=0.

1) Если корни характеристического уравнения — различные действительные числа:

    \[{k_1} \in R,{k_2} \in R,{k_1} \ne {k_2},\]

то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

    \[y = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}{e^{{k_2}x}}\]

2) Если корни характеристического уравнения — равные действительные числа

    \[{k_1} \in R,{k_2} \in R,{k_1} = {k_2}\]

(например, при дискриминанте, равном нулю), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка есть

    \[y = {e^{{k_1}x}}({C_1} + {C_2}x)\]

3) Если корни характеристического уравнения — комплексные числа

    \[{k_{1,2}} = \alpha  \pm \beta i\]

(например, при дискриминанте, равном отрицательному числу), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде

    \[y = {e^{\alpha x}}({C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x).\]

Примеры решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

    \[y'' - 7y' + 12y = 0\]

Составляем характеристическое уравнение: k²-7k+12=0. Его дискриминант D=b²-4ac=1>0, поэтому корни — различные действительные числа.

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}},{x_1} = \frac{{7 + 1}}{2} = 4,{x_2} = \frac{{7 - 1}}{2} = 3\]

Отсюда, общее решение этого однородного ДУ 2-го порядка есть

    \[y = {C_1}{e^{4x}} + {C_2}{e^{3x}}.\]

    \[2)y'' - 5y' = 0\]

Составим и решим характеристическое уравнение:

    \[{k^2} - 5k = 0, \Rightarrow k(k - 5) = 0, \Rightarrow {k_1} = 0,{k_2} = 5\]

Корни действительные и различные. Отсюда имеем общее решение  данного однородного дифференциального уравнения:

    \[y = {C_1}{e^{0x}} + {C_2}{e^{5x}}, \Rightarrow y = {C_1} + {C_2}{e^{5x}}.\]

    \[3)y'' - 81y = 0\]

В этом случае характеристическое уравнение

    \[{k^2} - 81 = 0, \Rightarrow (k - 9)(k + 9) = 0, \Rightarrow {k_1} = 9,{k_2} =  - 9\]

Корни различны и действительны. Поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения 2-го порядка здесь

    \[y = {C_1}{e^{9x}} + {C_2}{e^{ - 9x}}.\]

    \[4)y'' + 16y' + 64y = 0\]

Характеристическое уравнение

    \[{k^2} + 16k + 64 = 0.D = {b^2} - 4ac = 0, \Rightarrow k = \frac{{ - b}}{{2a}} =  - 8\]

Поскольку корни действительны и равны, для этого дифференциального уравнения общее решение записываем как

    \[y = {e^{ - 8x}}({C_1} + {C_2}x).\]

    \[6)y'' - 4y' + 13y = 0\]

Характеристическое уравнение здесь

    \[{k^2} - 4k + 13 = 0.D = {b^2} - 4ac = 16 - 52 =  - 36\]

Так как дискриминант — отрицательное число, корни характеристического уравнения — комплексные числа.

    \[\sqrt D  = \sqrt { - 36}  = \sqrt {36 \cdot ( - 1)}  = 6\sqrt { - 1}  = 6i\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{4 \pm 6i}}{2} = 2 \pm 3i, \Rightarrow \alpha  = 2,\beta  = 3\]

Общее решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

    \[y = {e^{2x}}({C_1}\cos 3x + {C_2}\sin 3x).\]

    \[7)y'' + 49y = 0\]

Характеристическое уравнение

    \[{k^2} + 49 = 0, \Rightarrow {k^2} =  - 49,{k_{1,2}} =  \pm \sqrt { - 49}  =  \pm 7i,\]

    \[\alpha  = 0,\beta  = 7\]

Отсюда находим общее решение данного диф. уравнения:

    \[y = {e^{0x}}({C_1}\cos 7x + {C_2}\sin 7x) = {C_1}\cos 7x + {C_2}\sin 7x.\]

Примеры для самопроверки.

Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

    \[1)y'' - 4y' - 12y = 0;\]

    \[2)y'' - 12y' + 36 = 0;\]

    \[3)y'' + 2y' + 5y = 0.\]

Показать решение

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *