Примеры нахождения производной сложной функции

Рассмотрим еще некоторые примеры нахождения производной сложной функции.

$1)y = {(\frac{1}{4}{x^6} + 8\sqrt[3]{{{x^6}}} - 1)^3};$

$2)y = \ln \sqrt[4]{{\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}}}};$

$3)y = \arccos \sqrt {x + 1} ;$

$4)y = {3^{\cos x}} - x \cdot \sin 2x.$

Решение:

Там, где возможно, перед дифференцированием примеры упрощаем:

$1)y = {(\frac{1}{4}{x^6} + 8\sqrt[3]{{{x^6}}} - 1)^3} = {(\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^{\frac{6}{3}}} - 1)^3} =$

$= {(\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^2} - 1)^3}.$

Данная функция — сложная. Внешняя функция f=u³, внутренняя — выражение, стоящее в скобках. Дифференцируем по правилу дифференцирования сложной функции: Имеем:

$y' = 3 \cdot {(\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^2} - 1)^2} \cdot (\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^2} - 1)' =$

$= 3 \cdot {(\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^2} - 1)^2} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 6{x^5} + 8 \cdot 2x - 0) =$

$= 3 \cdot {(\frac{1}{4}{x^6} + 8{x^2} - 1)^2} \cdot (\frac{3}{2}{x^5} + 16x).$

2) При нахождении производных логарифмов во многих случаях возможно предварительное преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, что позволяет существенно облегчить дифференцирование:

$2)y = \ln \sqrt[4]{{\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}}}} = \ln {(\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}})^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4}\ln (\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}}).$

Здесь внешняя функция — ln u, внутренняя — выражение, стоящее под знаком логарифма. Внутренняя функция представляет собой дробь, поэтому для ее дифференцирования применяем правило нахождения производной частного:

$y' = (\frac{1}{4}\ln (\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}}))' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}}}} \cdot (\frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 1}})' =$

$= \frac{{{x^2} + 1}}{{4(4x - 1)}} \cdot \frac{{(4x - 1)' \cdot ({x^2} + 1) - ({x^2} + 1)' \cdot (4x - 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} =$

$= \frac{{{x^2} + 1}}{{4(4x - 1)}} \cdot \frac{{4 \cdot ({x^2} + 1) - 2x \cdot (4x - 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} =$

$= \frac{{({x^2} + 1) \cdot 2(2 \cdot ({x^2} + 1) - x \cdot (4x - 1))}}{{4(4x - 1){{({x^2} + 1)}^2}}} =$

Сокращаем числитель и знаменатель на (х²+1) и 2:

$= \frac{{2 \cdot ({x^2} + 1) - x \cdot (4x - 1)}}{{2(4x - 1)({x^2} + 1)}} =$

$= \frac{{2{x^2} + 2 - 4{x^2} - x}}{{2(4x - 1)({x^2} + 1)}} = \frac{{ - 2{x^2} - x + 2}}{{2(4x - 1)({x^2} + 1)}}.$

3) Здесь внешняя функция — f=arccos u, u — выражение с квадратным к0рнем. Дифференцируем:

$y' = (\arccos \sqrt {x + 1} )' = - \frac{1}{{\sqrt {1 - {{(\sqrt {x + 1} )}^2}} }} \cdot (\sqrt {x + 1} )' =$

$= - \frac{1}{{\sqrt {1 - (x + 1)} }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} \cdot (x + 1)' =$

$= - \frac{1}{{\sqrt {1 - x - 1} }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} \cdot 1 =$

$= - \frac{1}{{\sqrt { - x} }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} = - \frac{1}{{2\sqrt { - {x^2} - x} }}.$

4) Первое слагаемое — сложная показательная функция 3 в степени u, u=cos x.

$y' = ({3^{\cos x}} - x \cdot \sin 2x)' =$

Второе слагаемое дифференцируем по правилу нахождения производной произведения:

$= {3^{\cos x}} \cdot \ln 3 \cdot (\cos x)' - (x' \cdot \sin 2x + (\sin 2x)' \cdot x) =$

$= {3^{\cos x}} \cdot \ln 3 \cdot ( - \sin x) - (1 \cdot \sin 2x + \cos 2x \cdot (2x)' \cdot x) =$

$= - {3^{\cos x}} \cdot \ln 3 \cdot \sin x - (\sin 2x + \cos 2x \cdot 2 \cdot x) =$

$= - {3^{\cos x}} \cdot \ln 3 \cdot \sin x - (\sin 2x + 2x\cos 2x).$

Примеры нахождения производной сложной функции

2 Comments

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Это интересно

Навигация по сайту

Рубрики

Свежие записи

Это интересно