Сложение комплексных чисел в алгебраической форме

 

Сумма двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, — это комплексное число, действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно сумме действительных частей и сумме коэффициентов при мнимых частях слагаемых.

Сложение комплексных чисел в алгебраической форме

    \[{z_1} = a + bi,{\rm{   }}{{\rm{z}}_2} = c + di\]

  можно записать с помощью формулы:

    \[{z_1} + {{\rm{z}}_2} = (a + bi) + (c + di) = (a + b) + (b + d)i\]

Примеры.

Сложить комплексные числа:

    \[1)(4 + 5i) + (12 - 7i);\]

 

    \[2)( - 3 - 2i) + (15 + 6i);\]

 

    \[3)(7 + 8i) + (11 - 8i);\]

 

    \[4)( - 9 - i) + (5 + i);\]

 

    \[5)23 + ( - 2 + 4i).\]

Решение:

    \[1)(4 + 5i) + (12 - 7i) = (4 + 12) + (5 - 7)i = 16 - 2i;\]

Чтобы сложить два комплексных числа в алгебраической форме, надо отдельно сложить действительные части этих чисел, отдельно — коэффициенты при мнимых частях. 

    \[2)( - 3 - 2i) + (15 + 6i) = ( - 3 + 15) + ( - 2 + 6i);\]

 

    \[3)(7 + 8i) + (11 - 8i) = (7 + 11) + (8 - 8)i = 18;\]

 

    \[4)( - 9 - i) + (5 + i) = ( - 9 + 5) + ( - 1 + 1)i =  - 4;\]

 

    \[5)23 + ( - 2 + 4i) = (23 - 2) + (0 + 4)i = 21 + 4i.\]

Комплексные числа также можно складывать, как обычные многочлены, то есть раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Например,

    \[( - 19 + 7i) + (3 - 2i) = - 16 + 7i + 3 - 2i = 22 + 5i.\]

Определение.

Два числа, сумма которых равна нулю, называют противоположными комплексными числами.

    \[a + bi{\rm{ }}\]

и

    \[ - a - bi{\rm{   }}\]

- противоположные числа.

Примеры противоположных чисел:

    \[9 + 4i{\rm{ }}\]

и

    \[ - 9 - 4i;\]

 

    \[\frac{3}{4} - \frac{5}{7}i{\rm{  }}\]

и

    \[ - \frac{3}{4} + \frac{5}{7}i\]

  8 и -8; 12i и -12i.

Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Например,

    \[(7 + 11i) + (7 - 11i) = (7 + 7) + (11 - 11)i = 14.\]

Сложение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, подчиняется перемести тельному и сочетательному законам.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>